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1996 AIME Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1996 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1996 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Halla la menor solución entera positiva de tan⁡(19x∘)=cos⁡96∘+sin⁡96∘cos⁡96∘−sin⁡96∘.\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.
Find the smallest positive integer solution to tan⁡(19x∘)=cos⁡96∘+sin⁡96∘cos⁡96∘−sin⁡96∘.\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.
Respuesta: 159
Conceptos:identidad trigonométricaaritmética modularecuación lineal
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Reconoce el lado derecho mediante la fórmula de adición de la tangente
Recognize the right-hand side using the tangent addition formula
Pista grande:
Resuelve la congruencia resultante módulo 180180
Solve the resulting congruence modulo 180180
Solución:
La fórmula de adición de la tangente da cos⁡96∘+sin⁡96∘cos⁡96∘−sin⁡96∘=tan⁡(45∘+96∘)=tan⁡141∘.\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered} Por lo tanto, 19x≡141(mod180).19x\equiv141\pmod {180}. Como 192=361≡1(mod180),19^2=361\equiv1\pmod {180}, al multiplicar por 1919 se obtiene x≡19⋅141≡159(mod180).x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}. La menor solución positiva es 159.159.
The tangent addition formula gives cos⁡96∘+sin⁡96∘cos⁡96∘−sin⁡96∘=tan⁡(45∘+96∘)=tan⁡141∘.\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered} Hence 19x≡141(mod180).19x\equiv141\pmod {180}. Since 192=361≡1(mod180),19^2=361\equiv1\pmod {180}, multiplying by 1919 gives x≡19⋅141≡159(mod180).x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}. The smallest positive solution is 159.159.

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