Question

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ están, en ese orden, sobre $\overline{AF},$ dividiéndolo en cinco segmentos, cada uno de longitud $1.$ El punto $G$ no está sobre la recta $AF.$ El punto $H$ está sobre $\overline{GD},$ y el punto $J$ está sobre $\overline{GF}.$ Los segmentos $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ y $\overline{AG}$ son paralelos. Halla $\frac{HC}{JE}.$

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie, in that order, on $\overline{AF},$ dividing it into five segments, each of length $1.$ Point $G$ is not on line $AF.$ Point $H$ lies on $\overline{GD},$ and point $J$ lies on $\overline{GF}.$ The line segments $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ and $\overline{AG}$ are parallel. Find $\frac{HC}{JE}.$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ da $HC$ en términos de $AG$ .

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ gives $HC$ in terms of $AG$

Pista grande:

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ da $JE$ en términos de $AG$ .

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ gives $JE$ in terms of $AG$

Solución:

Como $HC\parallel AG,$ $\triangle DHC\sim\triangle DGA,$ así que $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3},$ dando $HC=\dfrac{AG}{3}.$

Como $JE\parallel AG,$ $\triangle FJE\sim\triangle FGA,$ así que $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5},$ dando $JE=\dfrac{AG}{5}.$

En consecuencia $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $HC\parallel AG,$ $\triangle DHC\sim\triangle DGA,$ so $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3},$ giving $HC=\dfrac{AG}{3}.$

Since $JE\parallel AG,$ $\triangle FJE\sim\triangle FGA,$ so $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5},$ giving $JE=\dfrac{AG}{5}.$

Therefore $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años