Question

El producto $(8)(888\dots8),$ donde el segundo factor tiene $k$ dígitos, es un entero cuyos dígitos suman $1000.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones inducción

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Multiplica algunos ejemplos para ver el patrón de los dígitos.

Multiply a few examples to see the digit pattern

Pista grande:

Para $k\ge3$ , el producto tiene $k-2$ dígitos iguales a $1$ .

For $k\ge3$ , the product has $k-2$ digits equal to $1$

Solución:

El número de $k$ dígitos formado enteramente por $8$ es $8\frac{10^k-1}{9}$ , así que el producto es $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ Para $k\ge2$ , este es el número cuyos dígitos son $7$ , seguido por $k-2$ unos, y luego $0,4$ .

Por tanto, para cualquier $k \geq 3,$ la suma de los dígitos del producto es $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finalmente, obtenemos $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $k$ -digit number made entirely of $8$ s is $8\frac{10^k-1}{9}$ , so the product is $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ For $k\ge2$ , this is the number whose digits are $7$ , followed by $k-2$ ones, then $0,4$ .

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años