Soluciones del 2004 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Tú y cinco amigos necesitan recaudar $ $1500$ en donaciones para una organización benéfica, repartiendo la recaudación por igual. ¿Cuántos dólares necesitará recaudar cada uno?

You and five friends need to raise $ $1500$ in donations for a charity, dividing the fundraising equally. How many dollars will each of you need to raise?

$250$

$300$

$1500$

$7500$

$9000$

Conceptos:dinero fracción

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Incluyéndote a ti, cuenta el número total de personas que comparten el trabajo.

Including you, count the total number of people sharing the work

Pista grande:

Divide los $ $1500$ por igual entre las $6$ personas.

Divide $ $1500$ evenly among the $6$ people

Solución:

Incluyéndote a ti, hay $6$ personas que comparten la recaudación por igual. Cada uno debe recaudar $\dfrac{1500}{6} = 250$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Including you, there are $6$ people sharing the fundraising equally. Each must raise $\dfrac{1500}{6} = 250$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2.

Para cualesquiera tres números reales $a,$ $b,$ y $c,$ con $b \neq c,$ la operación $\diamond$ se define por $\diamond(a, b, c) = \dfrac{a}{b - c}.$ ¿Cuál es el valor de $\diamond(\diamond(1, 2, 3), \diamond(2, 3, 1), \diamond(3, 1, 2))$ ?

For any three real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ with $b \neq c,$ the operation $\diamond$ is defined by $\diamond(a, b, c) = \dfrac{a}{b - c}.$ What is $\diamond(\diamond(1, 2, 3), \diamond(2, 3, 1), \diamond(3, 1, 2))?$

$-\dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{1}{4}$

$0$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Calcula las tres expresiones internas antes de combinarlas.

Evaluate the three inner expressions before combining them

Pista grande:

$\diamond(1,2,3) = -1,$ $\diamond(2,3,1) = 1,$ y $\diamond(3,1,2) = -3$ .

$\diamond(1,2,3) = -1,$ $\diamond(2,3,1) = 1,$ and $\diamond(3,1,2) = -3$

Solución:

Los valores internos son $\begin{aligned} \diamond(1,2,3) &= \dfrac{1}{2-3} = -1, \\ \diamond(2,3,1) &= \dfrac{2}{3-1} = 1, \\ \diamond(3,1,2) &= \dfrac{3}{1-2} = -3. \end{aligned}$

Por lo tanto $\begin{aligned} \diamond(-1, 1, -3) &= \dfrac{-1}{1 - (-3)} \\ &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The inner values are $\begin{aligned} \diamond(1,2,3) &= \dfrac{1}{2-3} = -1, \\ \diamond(2,3,1) &= \dfrac{2}{3-1} = 1, \\ \diamond(3,1,2) &= \dfrac{3}{1-2} = -3. \end{aligned}$

Therefore $\begin{aligned} \diamond(-1, 1, -3) &= \dfrac{-1}{1 - (-3)} \\ &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

3.

Alicia gana $ $20$ por hora, de los cuales se deduce el $1.45\%$ para pagar impuestos locales. ¿Cuántos centavos por hora del salario de Alicia se usan para pagar impuestos locales?

Alicia earns $ $20$ per hour, of which $1.45\%$ is deducted to pay local taxes. How many cents per hour of Alicia’s wages are used to pay local taxes?

$0.0029$

$0.029$

$0.29$

$2.9$

$29$

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Convierte los $ $20$ a centavos antes de tomar el porcentaje.

Convert $ $20$ into cents before taking the percentage

Pista grande:

Calcula el $1.45\%$ de $2000$ centavos.

Compute $1.45\%$ of $2000$ cents

Solución:

Como $ $20$ equivale a $2000$ centavos, el impuesto local es $0.0145 \times 2000 = 29$ centavos por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $ $20$ equals $2000$ cents, the local tax is $0.0145 \times 2000 = 29$ cents per hour.

Thus, the correct answer is E.

4.

¿Cuál es el valor de $x$ si $|x - 1| = |x - 2|$ ?

What is the value of $x$ if $|x - 1| = |x - 2|?$

$-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

Conceptos:valor absoluto punto medio

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

$|x - a|$ mide la distancia de $x$ a $a$ .

$|x - a|$ measures the distance from $x$ to $a$

Pista grande:

El punto $x$ debe estar a la misma distancia de $1$ y de $2$ .

The point $x$ must be equally far from $1$ and $2$

Solución:

Como $|x - 1|$ y $|x - 2|$ son las distancias de $x$ a $1$ y $2,$ el punto $x$ es equidistante de $1$ y $2.$

Ese punto medio es $x = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $|x - 1|$ and $|x - 2|$ are the distances from $x$ to $1$ and $2,$ the point $x$ is equidistant from $1$ and $2.$

That midpoint is $x = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Se elige al azar un conjunto de tres puntos de la cuadrícula que se muestra. Cada conjunto de tres puntos tiene la misma probabilidad de ser elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos estén sobre una misma línea recta?

A set of three points is chosen randomly from the grid shown. Each three-point set has the same probability of being chosen. What is the probability that the points lie on the same straight line?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{2}{7}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones punto reticular

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Hay $\binom{9}{3}$ conjuntos de tres puntos igualmente probables.

There are $\binom{9}{3}$ equally likely three-point sets

Pista grande:

Cuenta las ternas colineales: $3$ filas, $3$ columnas y $2$ diagonales.

Count the collinear triples: $3$ rows, $3$ columns, and $2$ diagonals

Solución:

El número de conjuntos de tres puntos es $\binom{9}{3} = 84.$

Las ternas colineales son las $3$ filas, las $3$ columnas y las $2$ diagonales principales, para un total de $8.$

Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{8}{84} = \dfrac{2}{21}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The number of three-point sets is $\binom{9}{3} = 84.$

The collinear triples are the $3$ rows, the $3$ columns, and the $2$ main diagonals, for a total of $8.$

The probability is therefore $\dfrac{8}{84} = \dfrac{2}{21}.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Bertha tiene $6$ hijas y ningún hijo. Algunas de sus hijas tienen $6$ hijas cada una, y las demás no tienen ninguna. Bertha tiene en total $30$ hijas y nietas, y ninguna bisnieta. ¿Cuántas de las hijas y nietas de Bertha no tienen hijas?

Bertha has $6$ daughters and no sons. Some of her daughters have $6$ daughters, and the rest have none. Bertha has a total of $30$ daughters and granddaughters, and no great-granddaughters. How many of Bertha’s daughters and granddaughters have no daughters?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:conteo básico deducción lógica

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Bertha tiene $30 - 6 = 24$ nietas, y ninguna de ellas tiene hijas.

Bertha has $30 - 6 = 24$ granddaughters, and none of them have daughters

Pista grande:

Las nietas vienen en grupos de $6,$ así que averigua cuántas hijas son madres.

The granddaughters come in groups of $6,$ so find how many daughters are mothers

Solución:

Bertha tiene $30 - 6 = 24$ nietas, ninguna de las cuales tiene hijas.

Estas nietas pertenecen a $\frac{24}{6} = 4$ de las hijas de Bertha. Así que exactamente $4$ mujeres tienen hijas, y el número que no tiene hijas es $30 - 4 = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Bertha has $30 - 6 = 24$ granddaughters, none of whom have daughters.

These granddaughters belong to $\frac{24}{6} = 4$ of Bertha’s daughters. So exactly $4$ women have daughters, and the number with no daughters is $30 - 4 = 26.$

Thus, the correct answer is E.

7.

Un tendero apila naranjas en una pila con forma de pirámide cuya base rectangular es de $5$ naranjas por $8$ naranjas. Cada naranja por encima del primer nivel descansa en un hueco formado por cuatro naranjas del nivel inferior. La pila se completa con una sola fila de naranjas. ¿Cuántas naranjas hay en la pila?

A grocer stacks oranges in a pyramid-like stack whose rectangular base is $5$ oranges by $8$ oranges. Each orange above the first level rests in a pocket formed by four oranges in the level below. The stack is completed by a single row of oranges. How many oranges are in the stack?

$96$

$98$

$100$

$101$

$134$

Conceptos:conteo básico sumatoria

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Cada capa hacia arriba tiene una naranja menos en cada dimensión que la capa de abajo.

Each layer up has one fewer orange in each dimension than the layer below

Pista grande:

Suma $5\cdot 8 + 4\cdot 7 + 3\cdot 6 + 2\cdot 5 + 1\cdot 4$ .

Sum $5\cdot 8 + 4\cdot 7 + 3\cdot 6 + 2\cdot 5 + 1\cdot 4$

Solución:

Hay cinco capas, cada una más corta y estrecha que la de abajo. El número total de naranjas es $\begin{aligned} &5\cdot 8 + 4\cdot 7 + 3\cdot 6 \\ &\quad {}+ 2\cdot 5 + 1\cdot 4 \\ &= 40 + 28 + 18 + 10 + 4 = 100. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are five layers, each one shorter and narrower than the one below. The total number of oranges is $\begin{aligned} &5\cdot 8 + 4\cdot 7 + 3\cdot 6 \\ &\quad {}+ 2\cdot 5 + 1\cdot 4 \\ &= 40 + 28 + 18 + 10 + 4 = 100. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

8.

Se juega un juego con fichas según la siguiente regla. En cada ronda, el jugador con más fichas da una ficha a cada uno de los demás jugadores y además coloca una ficha en un montón de descarte. El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. Los jugadores $A,$ $B,$ y $C$ empiezan con $15,$ $14,$ y $13$ fichas, respectivamente. ¿Cuántas rondas habrá en el juego?

A game is played with tokens according to the following rule. In each round, the player with the most tokens gives one token to each of the other players and also places one token into a discard pile. The game ends when some player runs out of tokens. Players $A,$ $B,$ and $C$ start with $15,$ $14,$ and $13$ tokens, respectively. How many rounds will there be in the game?

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Conceptos:simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Simula algunas rondas y busca un patrón que se repita.

Simulate a few rounds and look for a repeating pattern

Pista grande:

Cada tres rondas, el total de cada jugador disminuye exactamente en uno.

Every three rounds, each player’s total drops by exactly one

Solución:

Después de las tres primeras rondas los conteos pasan de $(15, 14, 13)$ a $(14, 13, 12).$ En general, cada tres rondas cada jugador pierde exactamente una ficha.

Después de $36$ rondas los conteos son $(3, 2, 1).$ En la ronda $37$ , el líder regala tres fichas y baja a $0,$ terminando el juego.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

After the first three rounds the counts go from $(15, 14, 13)$ to $(14, 13, 12).$ In general, every three rounds each player loses exactly one token.

After $36$ rounds the counts are $(3, 2, 1).$ On the $37$ th round the leader gives away three tokens and drops to $0,$ ending the game.

Thus, the correct answer is B.

9.

En la figura, $\angle EAB$ y $\angle ABC$ son ángulos rectos, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ y $\overline{AC}$ y $\overline{BE}$ se cortan en $D.$ ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de $\triangle ADE$ y $\triangle BDC$ ?

In the figure, $\angle EAB$ and $\angle ABC$ are right angles, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ and $\overline{AC}$ and $\overline{BE}$ intersect at $D.$ What is the difference between the areas of $\triangle ADE$ and $\triangle BDC?$

$2$

$4$

$5$

$8$

$9$

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Al sumar $\triangle ABD$ a cada uno de los dos triángulos se obtienen dos triángulos más grandes.

Adding $\triangle ABD$ to each of the two triangles produces two larger triangles

Pista grande:

Al restar el área compartida, $[ADE] - [BDC]$ es igual a $[ABE] - [ABC]$ .

Subtracting the shared area makes $[ADE] - [BDC]$ equal to $[ABE] - [ABC]$

Solución:

Sea $[ABD]$ el área compartida por ambos triángulos grandes. Entonces $[ABE] = [ADE] + [ABD]$ y $[ABC] = [BDC] + [ABD].$

Restando, $\begin{aligned} &[ADE] - [BDC] \\ &= [ABE] - [ABC]. \end{aligned}$ Como $\angle EAB$ y $\angle ABC$ son ángulos rectos, $\begin{aligned} [ABE] &= \tfrac12(4)(8) = 16, \\ [ABC] &= \tfrac12(4)(6) = 12. \end{aligned}$

La diferencia es $16 - 12 = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $[ABD]$ be the area shared by both large triangles. Then $[ABE] = [ADE] + [ABD]$ and $[ABC] = [BDC] + [ABD].$

Subtracting, $\begin{aligned} &[ADE] - [BDC] \\ &= [ABE] - [ABC]. \end{aligned}$ Since $\angle EAB$ and $\angle ABC$ are right angles, $\begin{aligned} [ABE] &= \tfrac12(4)(8) = 16, \\ [ABC] &= \tfrac12(4)(6) = 12. \end{aligned}$

The difference is $16 - 12 = 4.$

Thus, the correct answer is B.

10.

La moneda $A$ se lanza tres veces y la moneda $B$ se lanza cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras obtenido al lanzar las dos monedas justas sea el mismo?

Coin $A$ is flipped three times and coin $B$ is flipped four times. What is the probability that the number of heads obtained from flipping the two fair coins is the same?

$\dfrac{19}{128}$

$\dfrac{23}{128}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{35}{128}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad binomial análisis por casos

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Suma $P(A = k)\,P(B = k)$ sobre cada posible conteo común $k$ .

Add up $P(A = k)\,P(B = k)$ over each possible common count $k$

Pista grande:

Los conteos de $A$ tienen pesos $1, 3, 3, 1$ y los de $B$ tienen $1, 4, 6, 4, 1$ .

The counts for $A$ are weighted $1, 3, 3, 1$ and for $B$ are $1, 4, 6, 4, 1$

Solución:

Las dos monedas coinciden cuando ambas muestran $0,$ $1,$ $2,$ o $3$ caras. La moneda $A$ tiene pesos $1, 3, 3, 1$ de un total de $8$ y la moneda $B$ tiene pesos $1, 4, 6, 4, 1$ de un total de $16.$

La probabilidad es $\begin{aligned} &\dfrac{1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 3\cdot 6 + 1\cdot 4}{8 \cdot 16} \\ &= \dfrac{35}{128}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two coins match when both show $0,$ $1,$ $2,$ or $3$ heads. Coin $A$ has weights $1, 3, 3, 1$ out of $8$ and coin $B$ has weights $1, 4, 6, 4, 1$ out of $16.$

The probability is $\begin{aligned} &\dfrac{1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 3\cdot 6 + 1\cdot 4}{8 \cdot 16} \\ &= \dfrac{35}{128}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

11.

Una empresa vende mantequilla de maní en frascos cilíndricos. Una investigación de mercado sugiere que usar frascos más anchos aumentará las ventas. Si el diámetro de los frascos se aumenta en un $25\%$ sin alterar el volumen, ¿en qué porcentaje se debe disminuir la altura?

A company sells peanut butter in cylindrical jars. Marketing research suggests that using wider jars will increase sales. If the diameter of the jars is increased by $25\%$ without altering the volume, by what percent must the height be decreased?

$10$

$25$

$36$

$50$

$60$

Conceptos:cilindro volumen porcentaje

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

El volumen $\pi r^2 h$ no cambia, así que $r^2 h$ permanece fijo.

The volume $\pi r^2 h$ is unchanged, so $r^2 h$ stays fixed

Pista grande:

Multiplicar el radio por $1.25$ multiplica $r^2$ por $1.25^2$ .

Multiplying the radius by $1.25$ multiplies $r^2$ by $1.25^2$

Solución:

Mantener $\pi r^2 h$ constante mientras se multiplica el radio por $1.25$ exige que la altura se multiplique por $\dfrac{1}{1.25^2} = \dfrac{1}{1.5625} = 0.64.$

Así que la altura se vuelve el $64\%$ de la original, una disminución del $36\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Keeping $\pi r^2 h$ constant while multiplying the radius by $1.25$ requires the height to be multiplied by $\dfrac{1}{1.25^2} = \dfrac{1}{1.5625} = 0.64.$

So the height becomes $64\%$ of the original, a decrease of $36\%.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Henry’s Hamburger Heaven ofrece sus hamburguesas con los siguientes ingredientes: kétchup, mostaza, mayonesa, tomate, lechuga, pepinillos, queso y cebolla. Un cliente puede elegir uno, dos o tres medallones de carne, y cualquier conjunto de ingredientes. ¿Cuántos tipos diferentes de hamburguesas se pueden pedir?

Henry’s Hamburger Heaven offers its hamburgers with the following condiments: ketchup, mustard, mayonnaise, tomato, lettuce, pickles, cheese, and onions. A customer can choose one, two, or three meat patties, and any collection of condiments. How many different kinds of hamburgers can be ordered?

$24$

$256$

$768$

$40{,}320$

$120{,}960$

Conceptos:principio de multiplicación subconjuntos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Cada uno de los $8$ ingredientes se incluye o se omite de forma independiente.

Each of the $8$ condiments is independently included or left out

Pista grande:

Multiplica las $2^8$ opciones de ingredientes por las $3$ opciones de cantidad de medallones.

Multiply the $2^8$ condiment choices by the $3$ choices of patty count

Solución:

Cada uno de los $8$ ingredientes está dentro o fuera de forma independiente, lo que da $2^8 = 256$ combinaciones de ingredientes.

Para cada una de estas hay $3$ opciones de cantidad de medallones, así que el número de hamburguesas es $3 \times 256 = 768.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of the $8$ condiments is independently in or out, giving $2^8 = 256$ condiment combinations.

For each of these there are $3$ choices of patty count, so the number of hamburgers is $3 \times 256 = 768.$

Thus, the correct answer is C.

13.

En una fiesta, cada hombre bailó con exactamente tres mujeres y cada mujer bailó con exactamente dos hombres. Doce hombres asistieron a la fiesta. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta?

At a party, each man danced with exactly three women and each woman danced with exactly two men. Twelve men attended the party. How many women attended the party?

$8$

$12$

$16$

$18$

$24$

Conceptos:doble conteo conteo de pares

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Cuenta las parejas de baile hombre-mujer de dos maneras.

Count the man-woman dancing pairs in two ways

Pista grande:

Hay $12 \cdot 3$ parejas, y cada mujer contribuye con $2$ de ellas.

There are $12 \cdot 3$ pairs, and each woman accounts for $2$ of them

Solución:

El número de parejas de baile es $12 \cdot 3 = 36,$ contando desde el lado de los hombres. Cada mujer estuvo en exactamente $2$ parejas, así que el número de mujeres es $\dfrac{36}{2} = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number of dancing pairs is $12 \cdot 3 = 36,$ counting from the men’s side. Each woman was in exactly $2$ pairs, so the number of women is $\dfrac{36}{2} = 18.$

Thus, the correct answer is D.

14.

El valor promedio de todos los centavos, monedas de cinco, de diez y de veinticinco centavos en el bolso de Paula es de $20$ centavos. Si tuviera una moneda de veinticinco más, el valor promedio sería de $21$ centavos. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene en su bolso?

The average value of all the pennies, nickels, dimes, and quarters in Paula’s purse is $20$ cents. If she had one more quarter, the average value would be $21$ cents. How many dimes does she have in her purse?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:media dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Si tiene $n$ monedas, su valor total es $20n$ centavos.

If she has $n$ coins, their total value is $20n$ cents

Pista grande:

Agregar una moneda de veinticinco centavos da $20n + 25 = 21(n + 1)$ .

Adding a quarter gives $20n + 25 = 21(n + 1)$

Solución:

Con $n$ monedas, el valor total es $20n$ centavos. Al agregar una moneda de veinticinco centavos se obtiene $20n + 25 = 21(n + 1),$ así que $n = 4.$

Si hubiera como máximo dos monedas de veinticinco centavos, las otras monedas valdrían como máximo $10$ centavos cada una, por lo que cuatro monedas sumarían a lo sumo $2(25)+2(10)=70$ centavos. Debe haber entonces tres monedas de veinticinco centavos, que dejan $5$ centavos para la cuarta moneda. El monedero contiene tres monedas de veinticinco y una de cinco centavos, así que tiene $0$ monedas de diez centavos.

Así, la respuesta correcta es A.

With $n$ coins the total value is $20n$ cents. Adding a quarter gives $20n + 25 = 21(n + 1),$ so $n = 4.$

If there were at most two quarters, the other coins would be worth at most $10$ cents each, so four coins would total at most $2(25)+2(10)=70$ cents. Thus there must be three quarters, leaving $5$ cents for the fourth coin. The purse contains three quarters and one nickel, so it has $0$ dimes.

Thus, the correct answer is A.

15.

Dado que $-4 \le x \le -2$ y $2 \le y \le 4,$ ¿cuál es el mayor valor posible de $\dfrac{x + y}{x}?$

Given that $-4 \le x \le -2$ and $2 \le y \le 4,$ what is the largest possible value of $\dfrac{x + y}{x}?$

$-1$

$-\dfrac{1}{2}$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

Conceptos:desigualdad optimización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Reescribe $\dfrac{x + y}{x} = 1 + \dfrac{y}{x}$ .

Rewrite $\dfrac{x + y}{x} = 1 + \dfrac{y}{x}$

Pista grande:

Como $\dfrac{y}{x} \lt 0,$ haz su valor absoluto lo más pequeño posible.

Since $\dfrac{y}{x} \lt 0,$ make its absolute value as small as possible

Solución:

Escribe $\dfrac{x + y}{x} = 1 + \dfrac{y}{x}.$ Aquí $\dfrac{y}{x} \lt 0,$ así que la expresión es mayor cuando $\left|\dfrac{y}{x}\right|$ es menor.

Eso ocurre con $y = 2$ y $x = -4,$ lo que da $1 + \dfrac{2}{-4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $\dfrac{x + y}{x} = 1 + \dfrac{y}{x}.$ Here $\dfrac{y}{x} \lt 0,$ so the expression is largest when $\left|\dfrac{y}{x}\right|$ is smallest.

That happens with $y = 2$ and $x = -4,$ giving $1 + \dfrac{2}{-4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

La cuadrícula de $5 \times 5$ que se muestra contiene una colección de cuadrados con tamaños desde $1 \times 1$ hasta $5 \times 5.$ ¿Cuántos de estos cuadrados contienen el cuadrado central sombreado?

The $5 \times 5$ grid shown contains a collection of squares with sizes from $1 \times 1$ to $5 \times 5.$ How many of these squares contain the shaded center square?

$12$

$15$

$17$

$19$

$20$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas análisis por casos

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Todo cuadrado $3\times3,$ $4\times4,$ y $5\times5$ contiene el centro.

Every $3\times3,$ $4\times4,$ and $5\times5$ square contains the center

Pista grande:

Luego cuenta cuántos cuadrados $2\times2$ y $1\times1$ cubren la celda central.

Then count how many $2\times2$ and $1\times1$ squares cover the center cell

Solución:

Todo cuadrado $5\times5,$ $4\times4,$ y $3\times3$ contiene la celda central, y hay $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$ de ellos.

Entre los cuadrados más pequeños, $4$ de los cuadrados $2\times2$ y $1$ de los cuadrados $1\times1$ cubren el centro, lo que da $14 + 4 + 1 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every $5\times5,$ $4\times4,$ and $3\times3$ square contains the center cell, and there are $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$ of them.

Among the smaller squares, $4$ of the $2\times2$ squares and $1$ of the $1\times1$ squares cover the center, giving $14 + 4 + 1 = 19.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Brenda y Sally corren en direcciones opuestas sobre una pista circular, partiendo de puntos diametralmente opuestos. Se encuentran por primera vez después de que Brenda ha corrido $100$ metros. Se vuelven a encontrar después de que Sally ha corrido $150$ metros más allá de su primer punto de encuentro. Cada chica corre a velocidad constante. ¿Cuál es la longitud de la pista en metros?

Brenda and Sally run in opposite directions on a circular track, starting at diametrically opposite points. They first meet after Brenda has run $100$ meters. They next meet after Sally has run $150$ meters past their first meeting point. Each girl runs at a constant speed. What is the length of the track in meters?

$250$

$300$

$350$

$400$

$500$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Partiendo de puntos opuestos, juntas recorren la mitad de la pista antes de su primer encuentro.

Starting from opposite points, together they cover half the track before their first meeting

Pista grande:

Usa la razón constante de velocidades para comparar la distancia que Brenda recorrió antes del primer encuentro con la que recorrió entre encuentros.

Use the constant speed ratio to compare Brenda’s first-meeting distance with her distance between meetings

Solución:

Antes del primer encuentro, las dos juntas recorren la mitad de la pista. Entre el primer y el segundo encuentro recorren juntas una pista completa, que es el doble de distancia, así que Brenda corre $2 \cdot 100 = 200$ metros en ese tramo.

Sally corre $150$ metros en el mismo tramo, así que la longitud total de la pista es $200 + 150 = 350.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Before the first meeting the two together cover half the track. Between the first and second meetings they together cover a full track, which is twice as far, so Brenda runs $2 \cdot 100 = 200$ meters in that stretch.

Sally runs $150$ meters in the same stretch, so the full track length is $200 + 150 = 350.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Una sucesión de tres números reales forma una progresión aritmética con primer término $9.$ Si se suma $2$ al segundo término y se suma $20$ al tercer término, los tres números resultantes forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible para el tercer término de la progresión geométrica?

A sequence of three real numbers forms an arithmetic progression with a first term of $9.$ If $2$ is added to the second term and $20$ is added to the third term, the three resulting numbers form a geometric progression. What is the smallest possible value for the third term of the geometric progression?

$1$

$4$

$36$

$49$

$81$

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe la progresión como $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d,$ de modo que la geométrica es $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d$ .

Write the progression as $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d,$ so the geometric one is $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d$

Pista grande:

Usa $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)$ y toma el valor de $d$ que da el tercer término más pequeño.

Use $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)$ and take the value of $d$ giving the smaller third term

Solución:

La progresión aritmética es $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d,$ así que la progresión geométrica es $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d.$

La condición geométrica da $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),$ que se simplifica a $d^2 + 4d - 140 = 0,$ así que $d = 10$ o $d = -14.$

Los terceros términos $29 + 2d$ son $49$ y $1.$ El menor es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The arithmetic progression is $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d,$ so the geometric progression is $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d.$

The geometric condition gives $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),$ which simplifies to $d^2 + 4d - 140 = 0,$ so $d = 10$ or $d = -14.$

The third terms $29 + 2d$ are $49$ and $1.$ The smallest is $1.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Un silo cilíndrico blanco tiene un diámetro de $30$ pies y una altura de $80$ pies. Se pinta en el silo una franja roja con un ancho horizontal de $3$ pies, como se muestra, dando dos vueltas completas a su alrededor. ¿Cuál es el área de la franja en pies cuadrados?

A white cylindrical silo has a diameter of $30$ feet and a height of $80$ feet. A red stripe with a horizontal width of $3$ feet is painted on the silo, as shown, making two complete revolutions around it. What is the area of the stripe in square feet?

$120$

$180$

$240$

$360$

$480$

Conceptos:cilindro desarrollo plano (geometría 3D)paralelogramo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Imagina cortar la franja del silo y desenrollarla en un plano.

Imagine cutting the stripe from the silo and unrolling it flat

Pista grande:

Se convierte en un paralelogramo con ancho horizontal $3$ y altura $80$ .

It becomes a parallelogram with horizontal width $3$ and height $80$

Solución:

Al desenrollar la franja se aplana en un paralelogramo. Su base (el ancho horizontal) es de $3$ pies y su altura abarca los $80$ pies completos del silo.

Por lo tanto, el área es $3 \times 80 = 240$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Unrolling the stripe flattens it into a parallelogram. Its base (the horizontal width) is $3$ feet and its height spans the full $80$ feet of the silo.

The area is therefore $3 \times 80 = 240$ square feet.

Thus, the correct answer is C.

20.

Los puntos $E$ y $F$ se ubican en el cuadrado $ABCD$ de modo que $\triangle BEF$ es equilátero. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DEF$ y la de $\triangle ABE$ ?

Points $E$ and $F$ are located on square $ABCD$ so that $\triangle BEF$ is equilateral. What is the ratio of the area of $\triangle DEF$ to that of $\triangle ABE?$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$1 + \sqrt{3}$

Conceptos:triángulo equilátero razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Supón que el cuadrado tiene lado $1$ y toma $ED = DF = x$ .

Let the square have side $1$ and set $ED = DF = x$

Pista grande:

A partir de $EF^2 = EB^2,$ obtén $2x^2 = 1 + (1 - x)^2$ .

From $EF^2 = EB^2,$ get $2x^2 = 1 + (1 - x)^2$

Solución:

Supón que el cuadrado tiene lado $1,$ y por simetría toma $ED = DF = x,$ así que $AE = 1 - x.$

Como $\triangle BEF$ es equilátero, $EF^2 = EB^2,$ lo que da $2x^2 = 1 + (1 - x)^2,$ que se simplifica a $x^2 = 2(1 - x).$

Los triángulos rectángulos tienen áreas $[DEF] = \tfrac12 x^2$ y $[ABE] = \tfrac12(1 - x),$ así que $\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $1,$ and by symmetry let $ED = DF = x,$ so $AE = 1 - x.$

Since $\triangle BEF$ is equilateral, $EF^2 = EB^2,$ giving $2x^2 = 1 + (1 - x)^2,$ which simplifies to $x^2 = 2(1 - x).$

The right triangles have areas $[DEF] = \tfrac12 x^2$ and $[ABE] = \tfrac12(1 - x),$ so $\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

21.

Dos rectas distintas pasan por el centro de tres círculos concéntricos de radios $3,$ $2,$ y $1.$ El área de la región sombreada en el diagrama es $\dfrac{8}{13}$ del área de la región no sombreada. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo agudo formado por las dos rectas? (Nota: $\pi$ radianes es $180$ grados.)

Two distinct lines pass through the center of three concentric circles of radii $3,$ $2,$ and $1.$ The area of the shaded region in the diagram is $\dfrac{8}{13}$ of the area of the unshaded region. What is the radian measure of the acute angle formed by the two lines? (Note: $\pi$ radians is $180$ degrees.)

$\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{\pi}{7}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{5}$

$\dfrac{\pi}{4}$

Conceptos:sector circular área del círculo corona circular ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea $\theta$ el ángulo agudo y expresa cada pieza sombreada como el área de un sector.

Let $\theta$ be the acute angle and express each shaded piece as a sector area

Pista grande:

Las piezas sombreadas suman $3\pi + 3\theta,$ de un área total de $9\pi$ .

The shaded pieces total $3\pi + 3\theta,$ out of the whole area $9\pi$

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo agudo. La región sombreada tiene tres partes: dos sectores agudos del disco unitario con área total $\theta,$ dos sectores obtusos de la corona circular entre los radios $1$ y $2$ con área total $3(\pi - \theta),$ y dos sectores agudos de la corona circular entre los radios $2$ y $3$ con área total $5\theta.$

Sumando estas se obtiene un área sombreada de $\theta + 3(\pi - \theta) + 5\theta = 3\pi + 3\theta.$

La región sombreada es $\dfrac{8}{13}$ de la región no sombreada, así que es $\dfrac{8}{21}$ del área total $9\pi.$ Entonces $3\pi + 3\theta = \dfrac{8}{21}(9\pi) = \dfrac{24\pi}{7},$ lo que da $\theta = \dfrac{\pi}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\theta$ be the acute angle. The shaded region has three parts: two acute sectors of the unit disk with total area $\theta,$ two obtuse sectors of the ring between radii $1$ and $2$ with total area $3(\pi - \theta),$ and two acute sectors of the ring between radii $2$ and $3$ with total area $5\theta.$

Adding these gives a shaded area of $\theta + 3(\pi - \theta) + 5\theta = 3\pi + 3\theta.$

The shaded region is $\dfrac{8}{13}$ of the unshaded region, so it is $\dfrac{8}{21}$ of the total area $9\pi.$ Then $3\pi + 3\theta = \dfrac{8}{21}(9\pi) = \dfrac{24\pi}{7},$ which gives $\theta = \dfrac{\pi}{7}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $2.$ Se construye dentro del cuadrado un semicírculo con diámetro $\overline{AB}$ , y la tangente al semicírculo desde $C$ corta al lado $\overline{AD}$ en $E.$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{CE}$ ?

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

Conceptos:recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Las tangentes desde un punto tienen la misma longitud: $CF = CB$ y $EF = EA$ .

Tangents from a point have equal length: $CF = CB$ and $EF = EA$

Pista grande:

Con $AE = x,$ aplica el teorema de Pitágoras al $\triangle CDE:$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2$ .

With $AE = x,$ apply the Pythagorean theorem to $\triangle CDE:$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2$

Solución:

Sea $F$ el punto donde $CE$ toca el semicírculo y sea $x = AE.$ Como las tangentes desde un punto son iguales, $CF = CB = 2$ y $EF = EA = x,$ así que $CE = 2 + x.$

En el triángulo rectángulo $CDE,$ tenemos $DE = 2 - x$ y $DC = 2,$ así que $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$ Esto da $x = \dfrac{1}{2},$ por lo que $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle and let $x = AE.$ Since tangents from a point are equal, $CF = CB = 2$ and $EF = EA = x,$ so $CE = 2 + x.$

In right triangle $CDE,$ we have $DE = 2 - x$ and $DC = 2,$ so $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$ This gives $x = \dfrac{1}{2},$ hence $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ son tangentes exteriores entre sí y tangentes interiores al círculo $D.$ Los círculos $B$ y $C$ son congruentes. El círculo $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D.$ ¿Cuál es el radio del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como $A$ pasa por el centro de $D$ y es tangente interior, el círculo $D$ tiene radio $2$ .

Since $A$ passes through $D$ ’s center and is internally tangent, circle $D$ has radius $2$

Pista grande:

Coloca los centros en coordenadas; el círculo $B$ de radio $r$ tiene su centro a distancia $1 + r$ de $A$ y $2 - r$ de $D$ .

Place the centers on coordinates; circle $B$ of radius $r$ has center at distance $1 + r$ from $A$ and $2 - r$ from $D$

Solución:

Como el círculo $A$ pasa por el centro de $D$ y es tangente interior a $D,$ el círculo $D$ tiene radio $2.$ Coloca el centro de $D$ en el origen y el centro de $A$ en $(-1, 0).$

Sea el círculo $B$ de radio $r$ y centro $(x, r),$ usando la simetría de $B$ y $C$ respecto al eje horizontal. La tangencia da $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

Restando se obtiene $x = 3r - 2.$ Sustituyendo en la segunda ecuación da $9r^2 - 8r = 0,$ así que $r = \dfrac{8}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because circle $A$ passes through $D$ ’s center and is internally tangent to $D,$ circle $D$ has radius $2.$ Place $D$ ’s center at the origin and $A$ ’s center at $(-1, 0).$

Let circle $B$ have radius $r$ and center $(x, r),$ using the symmetry of $B$ and $C$ about the horizontal axis. Tangency gives $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

Subtracting yields $x = 3r - 2.$ Substituting into the second equation gives $9r^2 - 8r = 0,$ so $r = \dfrac{8}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ una sucesión con las siguientes propiedades: $a_1 = 1,$ y $a_{2n} = n \cdot a_n$ para cualquier entero positivo $n.$ ¿Cuál es el valor de $a_{2^{100}}$ ?

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence with the following properties: $a_1 = 1,$ and $a_{2n} = n \cdot a_n$ for any positive integer $n.$ What is the value of $a_{2^{100}}?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

Conceptos:recursión número triangular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Calcula $a_{2^1},$ $a_{2^2},$ $a_{2^3},$ $a_{2^4}$ y sigue el exponente de $2$ .

Compute $a_{2^1},$ $a_{2^2},$ $a_{2^3},$ $a_{2^4}$ and track the exponent of $2$

Pista grande:

Los exponentes son $0,$ $1,$ $1 + 2,$ $1 + 2 + 3,$ $\ldots$

The exponents are $0,$ $1,$ $1 + 2,$ $1 + 2 + 3,$ $\ldots$

Solución:

Aplicando la regla repetidamente, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ así que en general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

Para $n = 100,$ el exponente es $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ así que $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Applying the rule repeatedly, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ so in general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

For $n = 100,$ the exponent is $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ so $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Tres esferas mutuamente tangentes de radio $1$ descansan sobre un plano horizontal. Una esfera de radio $2$ descansa sobre ellas. ¿Cuál es la distancia del plano a la parte superior de la esfera más grande?

Three mutually tangent spheres of radius $1$ rest on a horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

$3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}$

$3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}$

$3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}$

$\dfrac{52}{9}$

$3 + 2\sqrt{2}$

Conceptos:Geometría 3D esfera baricentro Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Los tres centros pequeños forman un triángulo equilátero de lado $2$ a una altura de $1$ .

The three small centers form an equilateral triangle of side $2$ at height $1$

Pista grande:

El centro de la esfera grande está sobre el baricentro del triángulo; el baricentro está a $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ de cada centro pequeño, y la distancia entre los centros de dos esferas tangentes es $1 + 2 = 3$ .

The big center sits above the triangle’s centroid; the centroid is $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ from each small center, and the slant distance between centers is $1 + 2 = 3$

Solución:

Los tres centros pequeños forman un triángulo equilátero de lado $2,$ cada uno a $1$ unidad sobre el plano. Su baricentro $D$ está a distancia $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ de cada vértice.

El centro de la esfera grande $E$ está directamente sobre $D,$ y la distancia entre $E$ y un centro pequeño es $1 + 2 = 3.$ Por lo tanto $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Sumar la $1$ unidad del plano a $D$ y las $2$ unidades de $E$ a la parte superior de la esfera grande da $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three small centers form an equilateral triangle of side $2,$ each $1$ unit above the plane. Its centroid $D$ is at distance $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ from each vertex.

The large sphere’s center $E$ sits directly above $D,$ and the distance between $E$ and a small center is $1 + 2 = 3.$ Thus $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Adding the $1$ unit from the plane to $D$ and the $2$ units from $E$ to the top of the large sphere gives $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Thus, the correct answer is B.