Question

En Estados Unidos, las monedas tienen los siguientes grosores: la de un centavo, $1.55$ mm; la de cinco centavos, $1.95$ mm; la de diez centavos, $1.35$ mm; la de veinticinco centavos, $1.75$ mm. Si una pila de estas monedas mide exactamente $14$ mm de alto, ¿cuántas monedas hay en la pila?

In the United States, coins have the following thicknesses: penny, $1.55$ mm; nickel, $1.95$ mm; dime, $1.35$ mm; quarter, $1.75$ mm. If a stack of these coins is exactly $14$ mm high, how many coins are in the stack?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:valor posicional decimal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

El grosor de cada moneda termina en $5$ en las centésimas, así que considera los dos últimos dígitos decimales de la altura.

Every coin thickness ends in a $5$ in the hundredths place, so consider the height’s last two decimal digits

Pista grande:

Para que la altura sea un número entero de mm, la cantidad de monedas debe ser un múltiplo de $4$ .

For the height to be a whole number of mm, the number of coins must be a multiple of $4$

Solución:

Midamos cada grosor en centésimas de milímetro. Los cuatro grosores posibles son $135,$ $155,$ $175,$ $195,$ todos congruentes con $15\pmod{20}.$ Si la pila tiene $k$ monedas y una altura entera, su total en centésimas es divisible entre $20,$ así que $15k$ es divisible entre $20.$ Por tanto, $k$ debe ser múltiplo de $4.$

Una pila de $4$ monedas mide como máximo $4(1.95) = 7.8$ mm, y una de $12$ monedas mide al menos $12(1.35) = 16.2$ mm, así que solo $8$ monedas pueden sumar $14$ mm.

En efecto, $8$ monedas de veinticinco centavos dan $8(1.75) = 14$ mm.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Measure every thickness in hundredths of a millimeter. The four possible thicknesses are $135,$ $155,$ $175,$ $195,$ all congruent to $15\pmod{20}.$ If the stack has $k$ coins and an integer height, its total in hundredths is divisible by $20,$ so $15k$ is divisible by $20.$ Therefore $k$ must be a multiple of $4.$

A stack of $4$ coins is at most $4(1.95) = 7.8$ mm, and a stack of $12$ coins is at least $12(1.35) = 16.2$ mm, so only $8$ coins can total $14$ mm.

Indeed, $8$ quarters give $8(1.75) = 14$ mm.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años