Question

¿Cuántos números entre $1$ y $2005$ son múltiplos enteros de $3$ o $4$ pero no de $12$ ?

How many numbers between $1$ and $2005$ are integer multiples of $3$ or $4$ but not $12?$

$501$

$668$

$835$

$1002$

$1169$

Respuesta: C

Conceptos:múltiplo inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Cuenta por separado los múltiplos de $3$ y de $4$ , notando que los múltiplos de $12$ son la parte común.

Count multiples of $3$ and of $4$ separately, noting that multiples of $12$ are the overlap

Pista grande:

De los múltiplos de $3$ y de los múltiplos de $4$ , quita los múltiplos de $12$ .

From each of the $3$ -multiples and $4$ -multiples, remove the $12$ -multiples

Solución:

Entre $1$ y $2005$ hay $668$ múltiplos de $3,$ $501$ múltiplos de $4,$ y $167$ múltiplos de $12.$

Todo múltiplo de $12$ es a la vez múltiplo de $3$ y de $4,$ así que quitarlos de cada grupo da $\begin{aligned} &(668 - 167) \\ &\quad {}+ (501 - 167) = 835 \end{aligned}$ números que son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $12.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Between $1$ and $2005$ there are $668$ multiples of $3,$ $501$ multiples of $4,$ and $167$ multiples of $12.$

Every multiple of $12$ is both a multiple of $3$ and of $4,$ so removing them from each group gives $\begin{aligned} &(668 - 167) \\ &\quad {}+ (501 - 167) = 835 \end{aligned}$ numbers that are multiples of $3$ or $4$ but not $12.$

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años