Question

Una parábola con ecuación $y = x^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(2, 3)$ y $(4, 3).$ ¿Cuánto vale $c$ ?

A parabola with equation $y = x^2 + bx + c$ passes through the points $(2, 3)$ and $(4, 3).$ What is $c?$

$2$

$5$

$7$

$10$

$11$

Los dos puntos tienen el mismo valor de $y$ , así que son simétricos respecto al vértice.

The two points have the same $y$ -value, so they are symmetric about the vertex

El eje de simetría es $x = 3,$ lo que da $b = -6$ .

The axis of symmetry is $x = 3,$ giving $b = -6$

Sustituyendo los puntos se obtiene $3 = 4 + 2b + c$ y $3 = 16 + 4b + c.$ Restando resulta $0 = 12 + 2b,$ así que $b = -6.$

Entonces $c = 3 - 4 - 2(-6) = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting the points gives $3 = 4 + 2b + c$ and $3 = 16 + 4b + c.$ Subtracting yields $0 = 12 + 2b,$ so $b = -6.$

Then $c = 3 - 4 - 2(-6) = 11.$

Thus, the correct answer is E.