Question

La figura de abajo muestra un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros; cada triángulo tiene un lado sobre un lado del cuadrado, cada triángulo tiene longitud de lado $2$ y los terceros vértices de los triángulos se encuentran en el centro del cuadrado. La región dentro del cuadrado pero fuera de los triángulos está sombreada. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

The figure below shows a square and four equilateral triangles, with each triangle having a side lying on a side of the square, such that each triangle has side length $2$ and the third vertices of the triangles meet at the center of the square. The region inside the square but outside the triangles is shaded. What is the area of the shaded region?

$4$

$12 - 4\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$16 - 4\sqrt{3}$

Respuesta: B

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Halla la altura de cada triángulo equilátero.

Find the altitude of each equilateral triangle

Pista grande:

Resta las áreas de los cuatro triángulos al área del cuadrado.

Subtract the four triangle areas from the square’s area

Solución:

Cada triángulo equilátero tiene longitud de lado $2$ , así que su altura es $\sqrt3$ . Como esa altura va desde un lado del cuadrado hasta su centro, el cuadrado tiene longitud de lado $2\sqrt3$ y área $12$ .

Cada uno de los cuatro triángulos equiláteros tiene área $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ . Por lo tanto, el área sombreada es $12-4\sqrt3.$

Así, la respuesta es B.

Each equilateral triangle has side length $2$ , so its altitude is $\sqrt3$ . Because that altitude runs from a side of the square to its center, the square has side length $2\sqrt3$ and area $12$ .

Each of the four equilateral triangles has area $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ . Therefore the shaded area is $12-4\sqrt3.$

Thus, the answer is B .

2019 AMC 10B Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años