Question

Supón que $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $75m = n^3.$ ¿Cuál es el mínimo valor posible de $m + n$ ?

Suppose that $m$ and $n$ are positive integers such that $75m = n^3.$ What is the minimum possible value of $m + n?$

$15$

$30$

$50$

$60$

$5700$

En un cubo perfecto, el exponente de cada primo es múltiplo de $3$ .

In a perfect cube, every prime’s exponent is a multiple of $3$

Como $75 = 3 \cdot 5^2,$ halla el menor $m$ que haga que todos los exponentes sean múltiplos de $3$ .

Since $75 = 3 \cdot 5^2,$ find the smallest $m$ making all exponents multiples of $3$

Como $n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,$ el exponente de cada factor primo debe ser múltiplo de tres.

El menor $m$ así es $3^2 \cdot 5 = 45,$ lo que da $n^3 = 3^3 \cdot 5^3$ y $n = 15.$

Entonces $m + n = 45 + 15 = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,$ every prime factor must occur a multiple of three times.

The smallest such $m$ is $3^2 \cdot 5 = 45,$ giving $n^3 = 3^3 \cdot 5^3$ and $n = 15.$

Then $m + n = 45 + 15 = 60.$

Thus, the correct answer is D.