Question

Define $\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}$ ¿Cuántos enteros $n$ hay tales que $P(n)\leq 0$ ?

Define $\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}$ How many integers $n$ are there such that $P(n)\leq 0?$

$4900$

$4950$

$5000$

$5050$

$5100$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio desigualdad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Haz una tabla de signos a lo largo de las raíces $1^2,2^2,\ldots,100^2$ .

Make a sign chart across the square roots $1^2,2^2,\ldots,100^2$

Pista grande:

Cuenta los puntos enteros en un intervalo sí y otro no, incluyendo los extremos.

Count integer points in every other interval, including endpoints

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

El polinomio cambia de signo en cada cuadrado $1^2,2^2,\ldots,100^2$ , y su coeficiente principal es positivo. Así, $P(n)\le0$ para los enteros en los intervalos $[1^2,2^2]$ , $[3^2,4^2]$ , $\ldots$ , $[99^2,100^2]$ .

Para $k$ impar, el intervalo $[k^2,(k+1)^2]$ contiene $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ enteros. Sumando sobre los $k=1,3,\ldots,99$ impares se obtiene $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ . Así, E es la respuesta correcta.

The polynomial changes sign at each square $1^2,2^2,\ldots,100^2$ , and its leading coefficient is positive. Thus $P(n)\le0$ for integers in the intervals $[1^2,2^2]$ , $[3^2,4^2]$ , $\ldots$ , $[99^2,100^2]$ .

For odd $k$ , the interval $[k^2,(k+1)^2]$ contains $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ integers. Summing over odd $k=1,3,\ldots,99$ gives $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ . Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 17