Soluciones del 2007 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La casa de Isabella tiene $3$ dormitorios. Cada dormitorio mide $12$ pies de largo, $10$ pies de ancho y $8$ pies de alto. Isabella debe pintar las paredes de todos los dormitorios. Las puertas y ventanas, que no se pintarán, ocupan $60$ pies cuadrados en cada dormitorio. ¿Cuántos pies cuadrados de pared deben pintarse?

Isabella’s house has $3$ bedrooms. Each bedroom is $12$ feet long, $10$ feet wide, and $8$ feet high. Isabella must paint the walls of all the bedrooms. Doorways and windows, which will not be painted, occupy $60$ square feet in each bedroom. How many square feet of walls must be painted?

$678$

$768$

$786$

$867$

$876$

Conceptos:área de superficie perímetro

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada dormitorio tiene cuatro paredes; halla el área total de las paredes a partir del perímetro y la altura.

Each bedroom has four walls; find the total wall area from the perimeter and the height

Pista grande:

Multiplica el perímetro de la habitación por su altura y luego resta $60$ .

Multiply the room’s perimeter by its height, then subtract $60$

Solución:

Las paredes de un dormitorio tienen un área de $2(12+10)\cdot 8 = 44\cdot 8 = 352$ pies cuadrados. Restando los $60$ pies cuadrados de puertas y ventanas quedan $352-60=292$ pies cuadrados por dormitorio.

Con $3$ dormitorios, el total es $3\cdot 292 = 876$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The walls of one bedroom have area $2(12+10)\cdot 8 = 44\cdot 8 = 352$ square feet. Subtracting the $60$ square feet of doorways and windows leaves $352-60=292$ square feet per bedroom.

With $3$ bedrooms, the total is $3\cdot 292 = 876$ square feet.

Thus, the correct answer is E.

2.

Define la operación $\star$ mediante $a\star b = (a+b)b.$ ¿Cuánto vale $(3\star 5)-(5\star 3)$ ?

Define the operation $\star$ by $a\star b = (a+b)b.$ What is $(3\star 5)-(5\star 3)?$

$-16$

$-8$

$0$

$8$

$16$

Conceptos:operación personalizada orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Calcula $3\star 5$ y $5\star 3$ por separado.

Compute $3\star 5$ and $5\star 3$ separately

Pista grande:

$3\star 5=(3+5)\cdot 5$ y $5\star 3=(5+3)\cdot 3$ .

$3\star 5=(3+5)\cdot 5$ and $5\star 3=(5+3)\cdot 3$

Solución:

Como $3\star 5=(3+5)\cdot 5=40$ y $5\star 3=(5+3)\cdot 3=24,$ la diferencia es $40-24=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $3\star 5=(3+5)\cdot 5=40$ and $5\star 3=(5+3)\cdot 3=24,$ the difference is $40-24=16.$

Thus, the correct answer is E.

3.

Un estudiante universitario condujo su auto compacto $120$ millas hasta su casa para el fin de semana y promedió $30$ millas por galón. En el viaje de regreso condujo la camioneta SUV de sus padres y promedió solo $20$ millas por galón. ¿Cuál fue el rendimiento promedio de gasolina, en millas por galón, para el viaje de ida y vuelta?

A college student drove his compact car $120$ miles home for the weekend and averaged $30$ miles per gallon. On the return trip the student drove his parents’ SUV and averaged only $20$ miles per gallon. What was the average gas mileage, in miles per gallon, for the round trip?

$22$

$24$

$25$

$26$

$28$

Conceptos:media armónica tasa

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

El rendimiento promedio es la distancia total dividida entre el total de galones, no el promedio de las dos tasas.

Average mileage is total distance divided by total gallons, not the average of the two rates

Pista grande:

Halla los galones usados en cada trayecto, luego divide $240$ entre su suma.

Find the gallons used each way, then divide $240$ by their sum

Solución:

El estudiante usó $\frac{120}{30}=4$ galones al conducir a casa y $\frac{120}{20}=6$ galones al regresar, para un total de $10$ galones en $240$ millas.

El promedio es $\frac{240}{10} = 24$ millas por galón.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The student used $\frac{120}{30}=4$ gallons driving home and $\frac{120}{20}=6$ gallons returning, for $10$ gallons over $240$ miles.

The average is $\frac{240}{10} = 24$ miles per gallon.

Thus, the correct answer is B.

4.

El punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita a $\triangle ABC,$ con $\angle BOC = 120^\circ$ y $\angle AOB = 140^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle ABC$ ?

The point $O$ is the center of the circle circumscribed about $\triangle ABC,$ with $\angle BOC = 120^\circ$ and $\angle AOB = 140^\circ,$ as shown. What is the degree measure of $\angle ABC?$

$35$

$40$

$45$

$50$

$60$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Cada radio es igual, así que cada uno de los triángulos $AOB, BOC, COA$ es isósceles.

Each radius is equal, so each of the triangles $AOB, BOC, COA$ is isosceles

Pista grande:

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC,$ donde cada parte es un ángulo de la base de un triángulo isósceles.

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC,$ where each part is a base angle of an isosceles triangle

Solución:

Como $OA=OB=OC,$ los triángulos $AOB, BOC,$ y $COA$ son isósceles. Los ángulos de la base dan $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ y $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$

Por lo tanto $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $OA=OB=OC,$ triangles $AOB, BOC,$ and $COA$ are isosceles. The base angles give $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ and $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$

Therefore $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

5.

En cierta tierra, todos los Arogs son Brafs, todos los Crups son Brafs, todos los Dramps son Arogs, y todos los Crups son Dramps. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se deduce de estos hechos?

In a certain land, all Arogs are Brafs, all Crups are Brafs, all Dramps are Arogs, and all Crups are Dramps. Which of the following statements is implied by these facts?

Todos los Dramps son Brafs y son Crups.

All Dramps are Brafs and are Crups.

Todos los Brafs son Crups y son Dramps.

All Brafs are Crups and are Dramps.

Todos los Arogs son Crups y son Dramps.

All Arogs are Crups and are Dramps.

Todos los Crups son Arogs y son Brafs.

All Crups are Arogs and are Brafs.

Todos los Arogs son Dramps y algunos Arogs pueden no ser Crups.

All Arogs are Dramps and some Arogs may not be Crups.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Escribe cada hecho como una implicación entre las categorías.

Write each fact as an implication between the categories

Pista grande:

Sigue la cadena $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B$ .

Follow the chain $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B$

Solución:

Escribiendo las afirmaciones como implicaciones, ser un Crup implica ser un Dramp, un Dramp implica ser un Arog, y un Arog implica ser un Braf: $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B.$

Así, todo Crup es un Dramp, un Arog y un Braf. La única afirmación de la lista que se garantiza verdadera es que todos los Crups son Arogs y Brafs.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing the statements as implications, being a Crup implies being a Dramp, a Dramp implies being an Arog, and an Arog implies being a Braf: $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B.$

So every Crup is a Dramp, an Arog, and a Braf. The only listed statement guaranteed true is that all Crups are Arogs and Brafs.

Thus, the correct answer is D.

6.

El AMC $10$ de $2007$ se calificará otorgando $6$ puntos por cada respuesta correcta, $0$ puntos por cada respuesta incorrecta y $1.5$ puntos por cada problema dejado sin responder. Tras revisar los $25$ problemas, Sarah ha decidido intentar los primeros $22$ y dejar sin responder solo los últimos $3$ . ¿Cuántos de los primeros $22$ problemas debe resolver correctamente para obtener al menos $100$ puntos?

The $2007$ AMC $10$ will be scored by awarding $6$ points for each correct response, $0$ points for each incorrect response, and $1.5$ points for each problem left unanswered. After looking over the $25$ problems, Sarah has decided to attempt the first $22$ and leave only the last $3$ unanswered. How many of the first $22$ problems must she solve correctly in order to score at least $100$ points?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Los problemas sin responder también aportan puntos.

The unanswered problems still contribute points

Pista grande:

Resta los puntos de los $3$ problemas en blanco, luego divide entre $6$ los puntos restantes que se necesitan.

Subtract the points from the $3$ blanks, then divide the remaining needed points by $6$

Solución:

Los tres problemas en blanco dan $3\cdot 1.5 = 4.5$ puntos, así que Sarah necesita $100-4.5=95.5$ puntos de los primeros $22.$

Como $\frac{95.5}{6}$ está entre $15$ y $16,$ debe responder correctamente al menos $16,$ lo que daría una puntuación de $100.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The three blank problems give $3\cdot 1.5 = 4.5$ points, so Sarah needs $100-4.5=95.5$ points from the first $22.$

Since $\frac{95.5}{6}$ lies between $15$ and $16,$ she must answer at least $16$ correctly, which would give a score of $100.5.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ tienen la misma longitud, y $\angle A = \angle B = 90^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle E$ ?

All sides of the convex pentagon $ABCDE$ are of equal length, and $\angle A = \angle B = 90^\circ.$ What is the degree measure of $\angle E?$

$90$

$108$

$120$

$144$

$150$

Conceptos:suma de ángulos cuadrado (geometría)triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Dos ángulos rectos en vértices adyacentes hacen que parte de la figura sea un cuadrado.

Two right angles at adjacent vertices make part of the figure a square

Pista grande:

$ABCE$ es un cuadrado y $\triangle CDE$ es equilátero.

$ABCE$ is a square and $\triangle CDE$ is equilateral

Solución:

Como $AB=BC=EA$ y $\angle A=\angle B=90^\circ,$ el cuadrilátero $ABCE$ es un cuadrado, así que $\angle AEC=90^\circ.$

Los lados restantes cumplen $CD=DE=EC,$ así que $\triangle CDE$ es equilátero y $\angle CED=60^\circ.$

Por lo tanto $\angle E=\angle AEC$ $+\angle CED=90^\circ$ $+60^\circ=150^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $AB=BC=EA$ and $\angle A=\angle B=90^\circ,$ quadrilateral $ABCE$ is a square, so $\angle AEC=90^\circ.$

The remaining sides satisfy $CD=DE=EC,$ so $\triangle CDE$ is equilateral and $\angle CED=60^\circ.$

Therefore $\angle E=\angle AEC$ $+\angle CED=90^\circ$ $+60^\circ=150^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

8.

En el viaje de regreso de la reunión donde se elaboró este AMC $10,$ el Presidente del Concurso notó que su recibo de estacionamiento del aeropuerto tenía dígitos de la forma $bbcac,$ donde $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ y $b$ era el promedio de $a$ y $c.$ ¿Cuántos números distintos de cinco cifras satisfacen todas estas propiedades?

On the trip home from the meeting where this AMC $10$ was constructed, the Contest Chair noted that his airport parking receipt had digits of the form $bbcac,$ where $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ and $b$ was the average of $a$ and $c.$ How many different five-digit numbers satisfy all these properties?

$12$

$16$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:dígitos paridad combinaciones

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

La condición $b=\dfrac{a+c}{2}$ obliga a que $a$ y $c$ tengan la misma paridad.

The condition $b=\dfrac{a+c}{2}$ forces $a$ and $c$ to have the same parity

Pista grande:

Cuenta los pares $a\lt c$ entre los dígitos pares y entre los impares; cada par determina $b$ .

Count pairs $a\lt c$ among the even digits and among the odd digits; each pair fixes $b$

Solución:

Una vez elegidos $a$ y $c,$ $b=\dfrac{a+c}{2}$ queda determinado, y $a\lt b\lt c$ se cumple automáticamente. Para que $b$ sea entero, $a$ y $c$ deben tener la misma paridad.

Elegir dos dígitos pares de $\{0,2,4,6,8\}$ da $\binom{5}{2}=10$ pares, y elegir dos dígitos impares de $\{1,3,5,7,9\}$ da otros $10.$

Esto da $20$ números válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Once $a$ and $c$ are chosen, $b=\dfrac{a+c}{2}$ is determined, and $a\lt b\lt c$ holds automatically. For $b$ to be an integer, $a$ and $c$ must share parity.

Choosing two even digits from $\{0,2,4,6,8\}$ gives $\binom{5}{2}=10$ pairs, and choosing two odd digits from $\{1,3,5,7,9\}$ gives another $10.$

This yields $20$ valid numbers.

Thus, the correct answer is D.

9.

Un código criptográfico se diseña de la siguiente manera. La primera vez que una letra aparece en un mensaje dado, se reemplaza por la letra que está $1$ lugar a su derecha en el alfabeto (suponiendo que la letra A está un lugar a la derecha de la letra Z). La segunda vez que esta misma letra aparece en el mensaje, se reemplaza por la letra que está $1+2$ lugares a la derecha; la tercera vez se reemplaza por la letra que está $1+2+3$ lugares a la derecha, y así sucesivamente.

Por ejemplo, con este código la palabra “banana” se convierte en “cbodqg”. En el mensaje “Lee’s sis is a Mississippi miss, Chriss!”, ¿qué letra sustituirá a la última s?

A cryptographic code is designed as follows. The first time a letter appears in a given message it is replaced by the letter that is $1$ place to its right in the alphabet (assuming that the letter A is one place to the right of the letter Z). The second time this same letter appears in the given message, it is replaced by the letter that is $1+2$ places to the right, the third time it is replaced by the letter that is $1+2+3$ places to the right, and so on. For example, with this code the word “banana” becomes “cbodqg”. What letter will replace the last letter s in the message

“Lee’s sis is a Mississippi miss, Chriss!”?

$g$

$h$

$o$

$s$

$t$

Conceptos:aritmética modular número triangular

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Cuenta cuántas veces aparece la letra s en todo el mensaje.

Count how many times the letter s appears in the whole message

Pista grande:

El desplazamiento total es $1+2+\cdots+12,$ luego reduce eso módulo $26$ .

The total shift is $1+2+\cdots+12,$ then reduce that modulo $26$

Solución:

La última s es la $12$ ª aparición de la letra s en el mensaje, así que se desplaza $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot 13}{2}=78$ lugares a la derecha.

Como $78=3\cdot 26$ es un múltiplo de la longitud del alfabeto $26,$ el desplazamiento vuelve a la misma letra, s.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The final s is the $12$ th appearance of the letter s in the message, so it is shifted $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot 13}{2}=78$ places to the right.

Since $78=3\cdot 26$ is a multiple of the alphabet length $26,$ the shift returns to the same letter, s.

Thus, the correct answer is D.

10.

Dos puntos $B$ y $C$ están en un plano. Sea $S$ el conjunto de todos los puntos $A$ del plano para los cuales $\triangle ABC$ tiene área $1.$ ¿Cuál de las siguientes opciones describe $S$ ?

Two points $B$ and $C$ are in a plane. Let $S$ be the set of all points $A$ in the plane for which $\triangle ABC$ has area $1.$ Which of the following describes $S?$

dos rectas paralelas

two parallel lines

una parábola

a parabola

una circunferencia

a circle

un segmento de recta

a line segment

dos puntos

two points

Conceptos:área del triángulo rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Fija $BC$ como la base; el área determina la altura desde $A$ .

Fix $BC$ as the base; the area determines the height from $A$

Pista grande:

Todos los puntos a una distancia fija de la recta $BC$ están sobre dos rectas paralelas.

All points at a fixed distance from line $BC$ lie on two parallel lines

Solución:

Tomando $BC$ como la base, el área es $\dfrac12(BC)d,$ donde $d$ es la distancia de $A$ a la recta $BC.$ El área es igual a $1$ exactamente cuando $d=\dfrac{2}{BC}.$

Los puntos a esta distancia fija de la recta $BC$ forman dos rectas paralelas a $BC,$ una a cada lado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Taking $BC$ as the base, the area is $\dfrac12(BC)d,$ where $d$ is the distance from $A$ to line $BC.$ The area equals $1$ exactly when $d=\dfrac{2}{BC}.$

The points at this fixed distance from line $BC$ form two lines parallel to $BC,$ one on each side.

Thus, the correct answer is A.

11.

Una circunferencia pasa por los tres vértices de un triángulo isósceles que tiene dos lados de longitud $3$ y una base de longitud $2.$ ¿Cuál es el área del círculo limitado por esta circunferencia?

A circle passes through the three vertices of an isosceles triangle that has two sides of length $3$ and a base of length $2.$ What is the area of this circle?

$2\pi$

$\dfrac{5}{2}\pi$

$\dfrac{81}{32}\pi$

$3\pi$

$\dfrac{7}{2}\pi$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio área del triángulo área del círculo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Usa la fórmula del circunradio $R=\dfrac{abc}{4K},$ donde $K$ es el área del triángulo.

Use the circumradius formula $R=\dfrac{abc}{4K},$ where $K$ is the triangle’s area

Pista grande:

Los lados son $3,$ $3$ y $2;$ halla el área a partir de la base y la altura, luego calcula $R$ .

The sides are $3,$ $3,$ and $2;$ find the area from the base and height, then compute $R$

Solución:

El triángulo tiene lados $3,$ $3$ y $2.$ Su área es $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

El circunradio es $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}.$

El área del círculo es $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangle has sides $3,$ $3,$ and $2.$ Its area is $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

The circumradius is $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}.$

The area of the circle is $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi.$

Thus, the correct answer is C.

12.

La edad de Tom es $T$ años, que también es la suma de las edades de sus tres hijos. Su edad hace $N$ años era el doble de la suma de las edades de ellos en ese momento. ¿Cuánto vale $\frac{T}{N}$ ?

Tom’s age is $T$ years, which is also the sum of the ages of his three children. His age $N$ years ago was twice the sum of their ages then. What is $\frac{T}{N}?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:edades ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Expresa la edad total de los hijos hace $N$ años en términos de $T$ y $N$ .

Express the children’s total age $N$ years ago in terms of $T$ and $N$

Pista grande:

$T-N=2(T-3N)$ .

$T-N=2(T-3N)$

Solución:

Hace $N$ años la edad de Tom era $T-N,$ y la suma de las edades de sus tres hijos era $T-3N.$

La condición da $T-N=2(T-3N),$ así que $T-N=2T-6N,$ que se simplifica a $5N=T.$

Por lo tanto $\frac{T}{N}=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$N$ years ago Tom’s age was $T-N,$ and the sum of his three children’s ages was $T-3N.$

The condition gives $T-N=2(T-3N),$ so $T-N=2T-6N,$ which simplifies to $5N=T.$

Therefore $\frac{T}{N}=5.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Dos círculos de radio $2$ tienen centros en $(2,0)$ y en $(0,2).$ ¿Cuál es el área de la intersección de los dos círculos?

Two circles of radius $2$ are centered at $(2,0)$ and at $(0,2).$ What is the area of the intersection of the interiors of the two circles?

$\pi-2$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi\sqrt3}{3}$

$2(\pi-2)$

$\pi$

Conceptos:sector circular descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Halla los dos puntos donde se cortan las circunferencias.

Find the two points where the circles intersect

Pista grande:

La mitad de la región es un cuarto de círculo menos un triángulo rectángulo isósceles de cateto $2$ .

Half the region is a quarter-circle minus an isosceles right triangle of leg $2$

Solución:

Las dos circunferencias se cortan en $(0,0)$ y $(2,2).$

Por simetría, la mitad de la intersección se forma quitando un triángulo rectángulo isósceles de cateto $2$ a un cuarto de un círculo. El cuarto de círculo tiene área $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ y el triángulo tiene área $\dfrac12(2)^2=2.$

Por lo tanto toda la región tiene área $2(\pi-2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two circles intersect at $(0,0)$ and $(2,2).$

By symmetry, half the intersection is formed by removing an isosceles right triangle of leg length $2$ from a quarter of one circle. The quarter-circle has area $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ and the triangle has area $\dfrac12(2)^2=2.$

Therefore the whole region has area $2(\pi-2).$

Thus, the correct answer is D.

14.

Unos niños y niñas hacen un lavado de autos para recaudar dinero para un viaje de clase a China. Inicialmente el $40\%$ del grupo son niñas. Poco después dos niñas se van y dos niños llegan, y entonces el $30\%$ del grupo son niñas. ¿Cuántas niñas había inicialmente en el grupo?

Some boys and girls are having a car wash to raise money for a class trip to China. Initially $40\%$ of the group are girls. Shortly thereafter two girls leave and two boys arrive, and then $30\%$ of the group are girls. How many girls were initially in the group?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

El tamaño del grupo no cambia cuando dos se van y dos llegan.

The group size does not change when two leave and two arrive

Pista grande:

Las dos niñas que se van representan el $40\%-30\%$ del grupo.

The two departing girls represent $40\%-30\%$ of the group

Solución:

Dos niñas se van y dos niños llegan, así que el tamaño del grupo no cambia. Por lo tanto, las dos niñas que se fueron representan el $40\%-30\%=10\%$ del grupo.

Así, el grupo tiene $2\div 0.10=20$ personas, y el número original de niñas era el $40\%$ de $20,$ es decir $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Two girls leave and two boys arrive, so the group size is unchanged. The two girls who left therefore represent $40\%-30\%=10\%$ of the group.

Thus the group has $2\div 0.10=20$ people, and the original number of girls was $40\%$ of $20,$ or $8.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Los ángulos del cuadrilátero $ABCD$ cumplen $\angle A = 2\angle B = 3\angle C = 4\angle D.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle A,$ redondeada al entero más cercano?

The angles of quadrilateral $ABCD$ satisfy $\angle A = 2\angle B = 3\angle C = 4\angle D.$ What is the degree measure of $\angle A,$ rounded to the nearest whole number?

$125$

$144$

$153$

$173$

$180$

Conceptos:suma de ángulos razón y proporción

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Escribe $\angle B,$ $\angle C$ y $\angle D$ en términos de $\angle A$ .

Write $\angle B,$ $\angle C,$ and $\angle D$ in terms of $\angle A$

Pista grande:

Los cuatro ángulos suman $360^\circ$ .

The four angles sum to $360^\circ$

Solución:

Sea $x=\angle A.$ Entonces $\angle B=\dfrac{x}{2},$ $\angle C=\dfrac{x}{3},$ y $\angle D=\dfrac{x}{4}.$

Los ángulos suman $360^\circ,$ así que $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=\dfrac{25x}{12}=360.$

Por lo tanto $x=\dfrac{12\cdot 360}{25}=172.8\approx 173.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x=\angle A.$ Then $\angle B=\dfrac{x}{2},$ $\angle C=\dfrac{x}{3},$ and $\angle D=\dfrac{x}{4}.$

The angles sum to $360^\circ,$ so $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=\dfrac{25x}{12}=360.$

Thus $x=\dfrac{12\cdot 360}{25}=172.8\approx 173.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Un profesor dio un examen a una clase en la que el $10\%$ de los estudiantes son de penúltimo año y el $90\%$ son de último año. El promedio del examen fue $84.$ Todos los de penúltimo año recibieron la misma calificación, y el promedio de los de último año fue $83.$ ¿Qué calificación recibió cada uno de los de penúltimo año en el examen?

A teacher gave a test to a class in which $10\%$ of the students are juniors and $90\%$ are seniors. The average score on the test was $84.$ The juniors all received the same score, and the average score of the seniors was $83.$ What score did each of the juniors receive on the test?

$85$

$88$

$93$

$94$

$98$

Conceptos:media razón y proporción

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Toma un tamaño de clase conveniente, como $10$ estudiantes.

Take a convenient class size, such as $10$ students

Pista grande:

Con un estudiante de penúltimo año y nueve de último año, $10\cdot 84 = 9\cdot 83 + s$ .

With one junior and nine seniors, $10\cdot 84 = 9\cdot 83 + s$

Solución:

Supongamos que la clase tiene $10$ estudiantes: uno de penúltimo año y nueve de último año. El total de todas las calificaciones es $10\cdot 84=840.$

Los nueve de último año suman $9\cdot 83=747,$ así que la calificación del de penúltimo año es $s=840-747=93.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Suppose the class has $10$ students: one junior and nine seniors. The total of all scores is $10\cdot 84=840.$

The nine seniors total $9\cdot 83=747,$ so the junior’s score is $s=840-747=93.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC$ equilátero. Los puntos $Q,$ $R,$ y $S$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{CA},$ respectivamente. Dado que $PQ = 1,$ $PR = 2,$ y $PS = 3,$ ¿cuánto vale $AB$ ?

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ = 1,$ $PR = 2,$ and $PS = 3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt3$

$6$

$4\sqrt3$

$9$

Conceptos:triángulo equilátero descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Conecta $P$ con los tres vértices para dividir $\triangle ABC$ en tres triángulos más pequeños.

Connect $P$ to the three vertices to split $\triangle ABC$ into three smaller triangles

Pista grande:

Sus áreas son $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ; iguala la suma a $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ .

Their areas are $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ; set the sum equal to $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado. Las perpendiculares desde $P$ son las alturas de los triángulos $APB,$ $BPC,$ y $CPA,$ así que sus áreas son $\dfrac{s}{2},$ $s,$ y $\dfrac{3s}{2}.$

Su suma es igual al área de $\triangle ABC,$ que también es $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Por lo tanto $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

La solución positiva es $s=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side length be $s.$ The perpendiculars from $P$ are the heights of triangles $APB,$ $BPC,$ and $CPA,$ so their areas are $\dfrac{s}{2},$ $s,$ and $\dfrac{3s}{2}.$

Their sum equals the area of $\triangle ABC,$ which is also $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

The positive solution is $s=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Una circunferencia de radio $1$ está rodeada por $4$ circunferencias de radio $r$ como se muestra. ¿Cuánto vale $r$ ?

A circle of radius $1$ is surrounded by $4$ circles of radius $r$ as shown. What is $r?$

$\sqrt2$

$1+\sqrt2$

$\sqrt6$

$3$

$2+\sqrt2$

Conceptos:circunferencias tangentes cuadrado (geometría)cuadrática

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Conecta los centros de las cuatro circunferencias exteriores para formar un cuadrado.

Connect the centers of the four outer circles to form a square

Pista grande:

El cuadrado tiene lado $2r$ y diagonal $2+2r$ .

The square has side $2r$ and diagonal $2+2r$

Solución:

Conecta los centros de las cuatro circunferencias exteriores para formar un cuadrado. Las circunferencias exteriores adyacentes son tangentes, así que cada lado tiene longitud $2r.$

La diagonal del cuadrado pasa por el centro del círculo central, dando longitud $1+r+r+1=2+2r.$ Como un cuadrado de lado $2r$ tiene diagonal $2r\sqrt2,$ obtenemos $2(2r)^2=(2+2r)^2.$

Al desarrollar se obtiene $1+2r+r^2=2r^2,$ así que $r^2-2r-1=0.$ La raíz positiva es $r=1+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Connect the centers of the four outer circles to form a square. Adjacent outer circles are tangent, so each side has length $2r.$

The diagonal of the square passes through the center of the central circle, giving length $1+r+r+1=2+2r.$ Since a square with side $2r$ has diagonal $2r\sqrt2,$ we get $2(2r)^2=(2+2r)^2.$

Expanding gives $1+2r+r^2=2r^2,$ so $r^2-2r-1=0.$ The positive root is $r=1+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

19.

La rueda que se muestra se gira dos veces y se registran los números que quedan frente al puntero. El primer número se divide entre $4,$ y el segundo número se divide entre $5.$ El primer residuo designa una columna, y el segundo residuo designa una fila del tablero que se muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que el par de números designe una casilla sombreada?

The wheel shown is spun twice, and the randomly determined numbers opposite the pointer are recorded. The first number is divided by $4,$ and the second number is divided by $5.$ The first remainder designates a column, and the second remainder designates a row on the checkerboard shown. What is the probability that the pair of numbers designates a shaded square?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica paridad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Una casilla está sombreada exactamente cuando los dos residuos tienen la misma paridad.

A square is shaded exactly when the two remainders have the same parity

Pista grande:

Halla la probabilidad de que cada residuo sea par, luego combina los casos de ambos pares y ambos impares.

Find the probability each remainder is even, then combine the both-even and both-odd cases

Solución:

Las casillas sombreadas son aquellas donde los dos residuos son ambos impares o ambos pares. El primer residuo es par (a partir de los números $2$ y $6$ ) con probabilidad $\dfrac13$ e impar con probabilidad $\dfrac23.$

El segundo residuo es par con probabilidad $\dfrac12$ e impar con probabilidad $\dfrac12.$

La probabilidad de que compartan paridad es $\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The shaded squares are those where the two remainders are both odd or both even. The first remainder is even (from the numbers $2$ and $6$ ) with probability $\dfrac13$ and odd with probability $\dfrac23.$

The second remainder is even with probability $\dfrac12$ and odd with probability $\dfrac12.$

The probability that they share parity is $\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Un conjunto de $25$ bloques cuadrados se organiza en un cuadrado de $5\times 5$ . ¿Cuántas combinaciones distintas de $3$ bloques se pueden seleccionar de ese conjunto de modo que no haya dos en la misma fila o columna?

A set of $25$ square blocks is arranged into a $5\times 5$ square. How many different combinations of $3$ blocks can be selected from that set so that no two are in the same row or column?

$100$

$125$

$600$

$2300$

$3600$

Conceptos:combinaciones permutaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Elige qué $3$ filas y qué $3$ columnas se usan.

Choose which $3$ rows and which $3$ columns are used

Pista grande:

Después de elegir $3$ filas y $3$ columnas, los bloques corresponden a un emparejamiento entre ellas.

After picking $3$ rows and $3$ columns, the blocks correspond to a matching between them

Solución:

Elige $3$ de las $5$ filas de $\binom{5}{3}=10$ maneras y $3$ de las $5$ columnas de $\binom{5}{3}=10$ maneras.

Los tres bloques elegidos deben ocupar filas y columnas distintas, así que forman un emparejamiento entre las tres filas y las tres columnas, lo que puede hacerse de $3!=6$ maneras.

El total es $10\cdot 10\cdot 6=600.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choose $3$ of the $5$ rows in $\binom{5}{3}=10$ ways and $3$ of the $5$ columns in $\binom{5}{3}=10$ ways.

The three chosen blocks must occupy distinct rows and columns, so they form a matching between the three rows and three columns, which can be done in $3!=6$ ways.

The total is $10\cdot 10\cdot 6=600.$

Thus, the correct answer is C.

21.

$\triangle ABC$ es rectángulo y tiene $AB=3,$ $BC=4,$ y $AC=5.$ El cuadrado $XYZW$ está inscrito en $\triangle ABC$ con $X$ y $Y$ en $\overline{AC},$ $W$ en $\overline{AB},$ y $Z$ en $\overline{BC}.$ ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

Right $\triangle ABC$ has $AB=3,$ $BC=4,$ and $AC=5.$ Square $XYZW$ is inscribed in $\triangle ABC$ with $X$ and $Y$ on $\overline{AC},$ $W$ on $\overline{AB},$ and $Z$ on $\overline{BC}.$ What is the side length of the square?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{60}{37}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{23}{13}$

$2$

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Halla la altura desde $B$ hasta la hipotenusa $AC$ .

Find the altitude from $B$ to the hypotenuse $AC$

Pista grande:

Usa la semejanza entre el triángulo completo y el triángulo pequeño situado encima del cuadrado.

Use the similarity between the whole triangle and the small triangle above the square

Solución:

Sea $s$ el lado del cuadrado y $h$ la altura desde $B$ hasta $AC.$ Entonces $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

El triángulo pequeño encima del cuadrado es semejante a $\triangle ABC$ con el lado superior del cuadrado como base, lo que da $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ así que $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Sustituyendo, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $s$ be the side of the square and $h$ the altitude from $B$ to $AC.$ Then $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

The small triangle above the square is similar to $\triangle ABC$ with the square’s top side as its base, giving $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ so $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Substituting, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Un jugador elige uno de los números del $1$ al $4.$ Después de hacer la elección, se lanzan dos dados regulares de cuatro caras (tetraédricos), con las caras numeradas del $1$ al $4.$ Si el número elegido aparece en la base de exactamente un dado tras lanzarlo, el jugador gana $\$1.$ Si el número elegido aparece en la base de ambos dados, el jugador gana $\$2.$ Si el número elegido no aparece en la base de ninguno de los dados, el jugador pierde $\$1.$ ¿Cuál es el rendimiento esperado para el jugador, en dólares, por un lanzamiento de los dados?

A player chooses one of the numbers $1$ through $4.$ After the choice has been made, two regular four-sided (tetrahedral) dice are rolled, with the sides of the dice numbered $1$ through $4.$ If the number chosen appears on the bottom of exactly one die after it is rolled, then the player wins $\$1.$ If the number chosen appears on the bottom of both of the dice, then the player wins $\$2.$ If the number chosen does not appear on the bottom of either of the dice, the player loses $\$1.$ What is the expected return to the player, in dollars, for one roll of the dice?

$-\dfrac{1}{8}$

$-\dfrac{1}{16}$

$0$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{8}$

Conceptos:valor esperado probabilidad binomial dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada dado muestra de manera independiente el número elegido en la base con probabilidad $\dfrac14$ .

Each die independently shows the chosen number on the bottom with probability $\dfrac14$

Pista grande:

Pondera los pagos $-1,$ $+1$ y $+2$ por las probabilidades de $0,$ $1$ y $2$ coincidencias.

Weight the payoffs $-1,$ $+1,$ and $+2$ by the probabilities of $0,$ $1,$ and $2$ matches

Solución:

Cada dado muestra el número elegido en la base con probabilidad $\dfrac14.$ Así, el número aparece $0,$ $1$ o $2$ veces con probabilidades $P(0)=\dfrac{9}{16},\$ $P(1)=\dfrac{6}{16},\$ $P(2)=\dfrac{1}{16}.$

El rendimiento esperado es $(-1)\cdot\dfrac{9}{16}$ $+(1)\cdot\dfrac{6}{16}$ $+(2)\cdot\dfrac{1}{16}$ $=\dfrac{-9+6+2}{16}$ $=-\dfrac{1}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each die shows the chosen number on the bottom with probability $\dfrac14.$ So the number appears $0,$ $1,$ or $2$ times with probabilities $P(0)=\dfrac{9}{16},\$ $P(1)=\dfrac{6}{16},\$ $P(2)=\dfrac{1}{16}.$

The expected return is $(-1)\cdot\dfrac{9}{16}$ $+(1)\cdot\dfrac{6}{16}$ $+(2)\cdot\dfrac{1}{16}$ $=\dfrac{-9+6+2}{16}$ $=-\dfrac{1}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Una pirámide con base cuadrada se corta con un plano paralelo a su base y a $2$ unidades de ella. El área superficial de la pirámide pequeña cortada de la parte superior es la mitad del área superficial de la pirámide original. ¿Cuál es la altura de la pirámide original?

A pyramid with a square base is cut by a plane that is parallel to its base and is $2$ units from the base. The surface area of the smaller pyramid that is cut from the top is half the surface area of the original pyramid. What is the altitude of the original pyramid?

$2$

$2+\sqrt2$

$1+2\sqrt2$

$4$

$4+2\sqrt2$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen pirámide área de superficie

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La pirámide más pequeña es semejante a la original.

The smaller pyramid is similar to the original

Pista grande:

La razón de las áreas de superficie es el cuadrado de la razón de las alturas, así que $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2$ .

The ratio of surface areas is the square of the ratio of altitudes, so $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2$

Solución:

Sea $h$ la altura de la pirámide original; la pirámide más pequeña tiene altura $h-2.$ Las dos pirámides son semejantes, así que la razón de sus áreas de superficie es el cuadrado de la razón de sus alturas.

El área de superficie menor es la mitad de la original, así que $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12,$ lo que da $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.$

Entonces $h=\sqrt2(h-2),$ así que $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ y $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $h$ be the altitude of the original pyramid; the smaller pyramid has altitude $h-2.$ The two pyramids are similar, so the ratio of their surface areas is the square of the ratio of their altitudes.

The smaller surface area is half the original, so $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12,$ giving $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.$

Then $h=\sqrt2(h-2),$ so $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ and $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Sea $n$ el menor entero positivo que es divisible tanto por $4$ como por $9,$ y cuya representación en base $10$ consiste solo en $4$ y $9$ , con al menos uno de cada uno. ¿Cuáles son los últimos cuatro dígitos de $n$ ?

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ ’s and $9$ ’s, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

Conceptos:divisibilidad dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

La divisibilidad por $9$ restringe la suma de los dígitos; la divisibilidad por $4$ restringe los dos últimos dígitos.

Divisibility by $9$ constrains the digit sum; divisibility by $4$ constrains the last two digits

Pista grande:

La suma de los dígitos obliga a que haya al menos nueve $4$ , y los dos últimos dígitos deben ser ambos $4$ .

The digit sum forces at least nine $4$ ’s, and the last two digits must both be $4$

Solución:

Como $n$ es divisible por $9,$ su suma de dígitos es un múltiplo de $9.$ Con $k$ cuatros y $m$ nueves, la suma de dígitos es $4k+9m,$ así que $4k$ es divisible por $9,$ lo que obliga a que $k$ sea divisible por $9.$ Por lo tanto $k\ge 9,$ y con al menos un $9,$ el número tiene al menos diez dígitos.

Para la divisibilidad por $4,$ los dos últimos dígitos deben formar un múltiplo de $4,$ y entre $44,$ $49,$ $94$ y $99$ solo $44$ funciona, así que $n$ termina en $44.$

El menor número de diez dígitos de este tipo coloca el único $9$ en la posición disponible más baja, dando $4{,}444{,}444{,}944.$ Sus últimos cuatro dígitos son $4944.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $4k$ is divisible by $9,$ forcing $k$ to be divisible by $9.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,$ $49,$ $94,$ and $99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

25.

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ hay tales que $a$ y $b$ no tienen factores comunes mayores que $1$ y

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

es un entero?

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $a$ and $b$ have no common factors greater than $1$ and

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Combina en la única fracción $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ y usa $\gcd(a,b)=1$ .

Combine into the single fraction $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ and use $\gcd(a,b)=1$

Pista grande:

Deduce que $14$ es divisible por $a$ y $9$ es divisible por $b,$ luego prueba los pocos pares que quedan.

Deduce that $14$ is divisible by $a$ and $9$ is divisible by $b,$ then test the finitely many pairs

Solución:

Combinando, la expresión es $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ Para que esto sea un entero, $a$ debe dividir a $9a^2+14b^2,$ por lo tanto $14b^2$ es divisible por $a.$ Como $\gcd(a,b)=1,$ obtenemos que $14$ es divisible por $a.$ De forma similar, $9a^2$ es divisible por $b,$ así que $9$ es divisible por $b.$

Así $a\in\{1,2,7,14\}$ y $b\in\{1,3,9\}.$ Al comprobar estos casos, solo $b=3$ hace que la expresión sea un entero para cada $a$ permitido.

Los pares válidos son $(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3)$ y $(14,3),$ para un total de $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Combining, the expression is $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ For this to be an integer, $a$ must divide $9a^2+14b^2,$ hence $14b^2$ is divisible by $a.$ Since $\gcd(a,b)=1,$ we get that $14$ is divisible by $a.$ Similarly, $9a^2$ is divisible by $b,$ so $9$ is divisible by $b.$

So $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking these, only $b=3$ makes the expression an integer for each allowed $a.$

The valid pairs are $(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ and $(14,3),$ for a total of $4.$

Thus, the correct answer is A.