Question

Jacob usa el siguiente procedimiento para escribir una sucesión de números. Primero elige que el primer término sea $6.$ Para generar cada término sucesivo, lanza una moneda equilibrada. Si sale cara, duplica el término anterior y le resta $1.$ Si sale cruz, toma la mitad del término anterior y le resta $1.$ ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto término de la sucesión de Jacob sea un entero?

Jacob uses the following procedure to write down a sequence of numbers. First he chooses the first term to be $6.$ To generate each succeeding term, he flips a fair coin. If it comes up heads, he doubles the previous term and subtracts $1.$ If it comes up tails, he takes half of the previous term and subtracts $1.$ What is the probability that the fourth term in Jacob’s sequence is an integer?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica diagrama de árbol paridad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Construye un árbol de las posibles sucesiones; cada lanzamiento se divide en dos ramas.

Build a tree of the possible sequences; each flip splits into two branches

Pista grande:

Determina cuáles de los cuartos términos son enteros; recuerda que al dividir un número impar entre dos, el resultado deja de ser entero.

Track which fourth terms are integers, remembering that halving an odd number breaks integrality

Solución:

Partiendo de $6,$ los segundos términos son $11$ (cara) y $2$ (cruz).

Continuando el árbol, los ocho cuartos términos igualmente probables son $41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1.$

De estos, $41, 8, 5, -1, -1$ son enteros, así que la probabilidad es $\dfrac{5}{8}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Starting from $6,$ the second terms are $11$ (heads) and $2$ (tails).

Continuing the tree, the eight equally likely fourth terms are $41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1.$

Of these, $41, 8, 5, -1, -1$ are integers, so the probability is $\dfrac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

2008 AMC 10A Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años