Question

Sea $@$ la operación “promediar con”: $a @ b = \frac{a+b}{2}.$ ¿Cuáles de las siguientes leyes distributivas se cumplen para todos los números $x,$ $y,$ y $z$ ?

I. $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$

II. $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$

III. $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$

Let $@$ denote the “averaged with” operation: $a @ b = \frac{a+b}{2}.$ Which of the following distributive laws hold for all numbers $x,$ $y,$ and $z?$

I. $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$

II. $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$

III. $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$

Solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

Solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Desarrolla cada lado usando $a@b=\frac{a+b}{2}$ .

Expand each side using $a@b=\frac{a+b}{2}$

Pista grande:

Comprueba cada una de I, II y III simbólicamente.

Test each of I, II, and III symbolically

Solución:

En I, el lado izquierdo es igual a $\dfrac{x+y+z}2$ y el lado derecho es igual a $x+\dfrac{y+z}2,$ así que no son iguales.

En II, ambos lados son iguales a $x+\dfrac{y+z}2,$ así que la igualdad se cumple.

En III, ambos lados son iguales a $\dfrac{2x+y+z}4,$ así que la igualdad también se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In statement I, the left-hand side equals $\dfrac{x+y+z}2$ and the right-hand side equals $x+\dfrac{y+z}2,$ so they are not always equal.

In statement II, both sides equal $x+\dfrac{y+z}2,$ so it holds.

In statement III, both sides equal $\dfrac{2x+y+z}4,$ so it also holds.

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B Problema 15

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años