Question

Sean los puntos $A=(0,0),$ $B=(1,2),$ $C=(3,3),$ y $D=(4,0).$ El cuadrilátero $ABCD$ se divide en dos partes de igual área mediante una recta que pasa por $A.$ Esta recta corta a $\overline{CD}$ en el punto $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ donde las fracciones están reducidas. ¿Cuánto vale $p+q+r+s$ ?

Let points $A=(0,0),$ $B=(1,2),$ $C=(3,3),$ and $D=(4,0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p+q+r+s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Primero calcula el área total de $ABCD$ .

First compute the total area of $ABCD$

Pista grande:

La recta de corte que pasa por $A$ hace que $\triangle ADG$ sea la mitad del área del cuadrilátero.

The cutting line through $A$ makes $\triangle ADG$ half the quadrilateral area

Solución:

Sea $G$ el punto donde la recta de corte encuentra a $\overline{CD}$ . Traza perpendiculares desde $B$ , $C$ , y $G$ hasta el eje $x$ , como en el diagrama.

Las áreas de $\triangle ABF$ , el trapecio $BCEF$ , y $\triangle CDE$ son $1$ , $5$ , y $\frac32$ , respectivamente, así que $[ABCD]=\frac{15}{2}$ .

Por lo tanto $\triangle ADG$ tiene área $\frac{15}{4}$ . Como $AD=4$ , la altura de $G$ es $\frac{15}{8}$ .

La recta $CD$ tiene ecuación $y=-3x+12$ , así que $\frac{15}{8}=-3x+12$ , lo que da $x=\frac{27}{8}$ . Por lo tanto $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the cutting line meet $\overline{CD}$ at $G$ . Drop perpendiculars from $B$ , $C$ , and $G$ to the $x$ -axis as in the diagram.

The areas of $\triangle ABF$ , trapezoid $BCEF$ , and $\triangle CDE$ are $1$ , $5$ , and $\frac32$ , respectively, so $[ABCD]=\frac{15}{2}$ .

Thus $\triangle ADG$ has area $\frac{15}{4}$ . Since $AD=4$ , the height of $G$ is $\frac{15}{8}$ .

The line $CD$ has equation $y=-3x+12$ , so $\frac{15}{8}=-3x+12$ , giving $x=\frac{27}{8}$ . Therefore $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años