Question

¿Cuál es la suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

What is the sum of the reciprocals of the roots of the equation $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

$-\dfrac{2004}{2003}$

$-1$

$\dfrac{2003}{2004}$

$1$

$\dfrac{2004}{2003}$

Multiplica todo por $x$ para obtener una ecuación cuadrática $ax^2 + x + 1 = 0$ con $a = \dfrac{2003}{2004}$ .

Multiply through by $x$ to get a quadratic $ax^2 + x + 1 = 0$ with $a = \dfrac{2003}{2004}$

Si las raíces son $r$ y $s,$ su suma de recíprocos es $\dfrac{r + s}{rs},$ y por Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a},$ $rs = \dfrac{1}{a}$ .

If the roots are $r$ and $s,$ their reciprocal sum is $\dfrac{r + s}{rs},$ and by Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a},$ $rs = \dfrac{1}{a}$

Sea $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplicar la ecuación por $x$ da $ax^2 + x + 1 = 0.$

Si las raíces son $r$ y $s,$ entonces por las fórmulas de Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a}$ y $rs = \dfrac{1}{a}.$

La suma de los recíprocos es $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplying the equation by $x$ gives $ax^2 + x + 1 = 0.$

If the roots are $r$ and $s,$ then by Vieta’s formulas $r + s = -\dfrac{1}{a}$ and $rs = \dfrac{1}{a}.$

The sum of reciprocals is $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.$

Thus, the correct answer is B.