Question

Sean $p,$ $q,$ y $r$ las raíces distintas del polinomio $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ Existen números reales $A,$ $B,$ y $C$ tales que $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ para todos los números reales $s$ con $s\notin\{p,q,r\}.$ ¿Cuánto vale $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ There exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ for all real numbers $s$ with $s\notin\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

Respuesta: B

Conceptos:fracciones parciales Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Multiplica por $(s-p)(s-q)(s-r)$ .

Multiply by $(s-p)(s-q)(s-r)$

Pista grande:

Sustituye cada raíz y luego usa las fórmulas de Vieta.

Substitute each root, then use Vieta’s formulas

Solución:

Multiplicar la identidad por $(s-p)(s-q)(s-r)$ da $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Tomando sucesivamente $s=p,q,r$ , se obtiene $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Sumando y desarrollando se obtiene $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ Por las fórmulas de Vieta, $p+q+r=22$ y $pq+pr+qr=80$ , así que $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Por lo tanto, el valor pedido es $324-80=244.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Multiplying the identity by $(s-p)(s-q)(s-r)$ gives $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Setting $s=p,q,r$ , in turn, yields $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Adding and expanding gives $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ By Vieta’s formulas, $p+q+r=22$ and $pq+pr+qr=80$ , so $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Therefore the requested value is $324-80=244.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años