Question

Dos rectas con pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2).$ ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Halla las tres intersecciones por pares de las rectas.

Find all three pairwise intersections of the lines

Pista grande:

Usa la fórmula de la distancia o la del cordón de zapato para el triángulo resultante.

Use the distance or shoelace formula for the resulting triangle

Solución:

Las dos rectas que pasan por $(2,2)$ tienen ecuaciones $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Sus intersecciones con $x+y=10$ son $(6,4)$ y $(4,6)$ , respectivamente.

Así, los vértices son $(2,2),(6,4),$ y $(4,6)$ . El segmento que une los dos últimos puntos tiene longitud $2\sqrt2$ , su punto medio es $(5,5)$ , y la distancia de $(2,2)$ a ese punto medio es $3\sqrt2$ .

Por lo tanto, el área es $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The two lines through $(2,2)$ have equations $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Their intersections with $x+y=10$ are $(6,4)$ and $(4,6)$ , respectively.

Thus the vertices are $(2,2),(6,4),$ and $(4,6)$ . The segment joining the last two points has length $2\sqrt2$ , its midpoint is $(5,5)$ , and the distance from $(2,2)$ to that midpoint is $3\sqrt2$ .

The area is therefore $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años