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2024 AMC 10A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2024 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Los enteros a,a, b,b, y cc satisfacen

ab+c=100,bc+a=87,ca+b=60. \begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}

¿Cuánto vale ab+bc+caab + bc + ca?

Integers a,a, b,b, and cc satisfy

ab+c=100,bc+a=87,ca+b=60. \begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}

What is ab+bc+ca?ab + bc + ca?

212212

247247

258258

276276

284284

Respuesta: D
Conceptos:sistema de ecuacionesfactorizaciónEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones para relacionar ab+bc+caab + bc + ca y a+b+ca + b + c.

Add all three equations to relate ab+bc+caab + bc + ca and a+b+ca + b + c

Pista grande:

Resta las dos primeras ecuaciones para obtener (a−c)(b−1)=13;(a-c)(b-1)=13; enumera los cuatro pares de factores con signo de 1313

Subtract the first two equations to get (a−c)(b−1)=13;(a-c)(b-1)=13; enumerate the four signed factor pairs of 1313

Solución:

Resta la segunda ecuación de la primera: (a−c)(b−1)=13.(a-c)(b-1)=13. Pon u=a−cu=a-c y v=b−1.v=b-1. Las cuatro posibilidades (u,v)=(1,13),(u,v)=(1,13), (13,1),(13,1), (−1,−13),(-1,-13), y (−13,−1)(-13,-1) dan, tras sustituir en bc+a=87,bc+a=87, respectivamente c=8615,c=\frac{86}{15}, c=743,c=\frac{74}{3}, c=−8,c=-8, y c=100.c=100. Solo la tercera es una solución entera de las tres ecuaciones originales: (a,b,c)=(−9,−12,−8).(a,b,c)=(-9,-12,-8). (El último candidato es (87,0,100),(87,0,100), que no cumple ca+b=60.ca+b=60.) Al sumar las ecuaciones originales se obtiene ab+bc+caab+bc+ca +(a+b+c)=247.{}+(a+b+c)=247. Como a+b+c=−29,a+b+c=-29, obtenemos ab+bc+caab+bc+ca =247−(−29)=276.=247-(-29)=276. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Subtract the second equation from the first: (a−c)(b−1)=13.(a-c)(b-1)=13. Put u=a−cu=a-c and v=b−1.v=b-1. The four possibilities (u,v)=(1,13),(u,v)=(1,13), (13,1),(13,1), (−1,−13),(-1,-13), and (−13,−1)(-13,-1) give, after substitution into bc+a=87,bc+a=87, respectively c=8615,c=\frac{86}{15}, c=743,c=\frac{74}{3}, c=−8,c=-8, and c=100.c=100. Only the third is an integer solution of all three original equations: (a,b,c)=(−9,−12,−8).(a,b,c)=(-9,-12,-8). (The last candidate is (87,0,100),(87,0,100), which fails ca+b=60.ca+b=60.) Adding the original equations gives ab+bc+caab+bc+ca +(a+b+c)=247.{}+(a+b+c)=247. Since a+b+c=−29,a+b+c=-29, we obtain ab+bc+caab+bc+ca =247−(−29)=276.=247-(-29)=276. Thus, D is the correct answer.

Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

El Problema 23 en otros años

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