1951 AMC 12 Problema 48

Question

El área de un cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo completo como:

The area of a square inscribed in a semicircle is to the area of the square inscribed in the entire circle as:

1:2

2:3

2:5

3:4

3:5

Sea

R

el radio del círculo y

s

el lado del cuadrado inscrito en el semicírculo

Let the circle have radius

R

and the semicircle-square have side

s

Para el cuadrado del semicírculo, uno de los vértices superiores da

(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2

For the semicircle-square, a top vertex gives

(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2

Para el cuadrado del semicírculo, colocamos su base sobre el diámetro. Un vértice superior está a una distancia horizontal

\frac{s}{2}

del centro y a una distancia vertical

s,

por lo que

\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,

de donde

s^2=\frac{4R^2}{5}.

Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal

2R,

y por tanto área

2R^2.

La razón es

\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the square in the semicircle, put its base on the diameter. A top vertex has horizontal distance

\frac{s}{2}

from the center and vertical distance

s,

so

\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,

giving

s^2=\frac{4R^2}{5}.

A square inscribed in the full circle has diagonal

2R,

hence area

2R^2.

The ratio is

\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.

Thus, the correct answer is C.

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