1952 AMC 12 Problema 41

Question

Aumentar el radio de un cilindro en

6

unidades aumenta el volumen en

y

unidades cúbicas. Aumentar la altura del cilindro en

6

unidades también aumenta el volumen en

y

unidades cúbicas. Si la altura original es

2,

entonces el radio original es:

Increasing the radius of a cylinder by

6

units increases the volume by

y

cubic units. Increasing the altitude of the cylinder by

6

units also increases the volume by

y

cubic units. If the original altitude is

2,

then the original radius is:

2

4

6

6\pi

8

Respuesta: C

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea

r

el radio original y escribe cada uno de los dos aumentos de volumen

Let the original radius be

r

and write each of the two volume increases

Pista grande:

Iguala

2\pi((r+6)^2-r^2)

y

6\pi r^2

Equate

2\pi((r+6)^2-r^2)

and

6\pi r^2

Solución:

Con altura original

2

y radio

r,

aumentar el radio añade

2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi

unidades cúbicas. Aumentar la altura en

6

añade

6\pi r^2

unidades cúbicas. Al igualarlos se obtiene

6r^2=24r+72,

o

r^2-4r-12=0.

Su raíz positiva es

r=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With original height

2

and radius

r,

increasing the radius adds

2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi

cubic units. Increasing the height by

6

adds

6\pi r^2

cubic units. Equating these gives

6r^2=24r+72,

or

r^2-4r-12=0.

Its positive root is

r=6.

Thus, the correct answer is C.