1952 AMC 12 Problema 42

Intenta el Problema 42 del 1952 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1952 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

42.

Sea DD un decimal periódico. Si PP denota las rr cifras de DD que no se repiten y QQ denota las ss cifras que sí se repiten, entonces la expresión incorrecta es:
Let DD represent a repeating decimal. If PP denotes the rr figures of DD which do not repeat themselves, and QQ denotes the ss figures which do repeat themselves, then the incorrect expression is:
D=0.PQQQ…D=0.PQQQ\ldots
10rD=P.QQQ…10^rD=P.QQQ\ldots
10r+sD=PQ.QQQ…10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots
10r(10s−1)D=Q(P−1)10^r(10^s-1)D=Q(P-1)
10r⋅102sD=10^r\cdot10^{2s}D= PQQ.QQQ…PQQ.QQQ\ldots
Respuesta: D
Conceptos:decimal periódicovalor posicionalmanipulación algebraica
Pista pequeña:
Desplaza el punto decimal primero más allá de las rr cifras no periódicas y luego más allá de un bloque de ss cifras periódicas
Shift the decimal point first past the rr nonrepeating digits and then past one block of ss repeating digits
Pista grande:
Resta 10rD10^rD de 10r+sD10^{r+s}D y compara el resultado con la opción D
Subtract 10rD10^rD from 10r+sD10^{r+s}D and compare the result with choice D
Solución:
Después de desplazar el punto más allá del bloque no periódico, 10rD=P.QQQ…, 10^rD=P.QQQ\ldots, y después de desplazarlo un bloque periódico más, 10r+sD=PQ.QQQ…. 10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots. Al restar se obtiene la relación estándar 10r(10s−1)D=P(10s−1)+Q. \begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered} Esto no es Q(P−1),Q(P-1), como afirma la opción D.
Por lo tanto, la expresión incorrecta, y con ello la respuesta correcta, es D.
After shifting past the nonrepeating block, 10rD=P.QQQ…, 10^rD=P.QQQ\ldots, and after shifting one repeating block farther, 10r+sD=PQ.QQQ…. 10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots. Subtracting yields the standard relation 10r(10s−1)D=P(10s−1)+Q. \begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered} This is not Q(P−1),Q(P-1), as stated in choice D.
Thus, the incorrect expression, and hence the correct answer, is D.
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