1957 AMC 12 Problema 41

Question

Dado el sistema de ecuaciones

\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1. \end{aligned}

¿Para cuál de los siguientes valores de

a

no hay solución para

x

e

y

?

Given the system of equations

\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1. \end{aligned}

For which one of the following values of

a

is there no solution for

x

and

y?

1

0

-1

\pm\dfrac{\sqrt2}{2}

\pm\sqrt2

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones determinante

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Un sistema

2\times2

puede no tener solución única cuando el determinante de sus coeficientes es cero

A

2\times2

system can fail to have a unique solution when its coefficient determinant is zero

Pista grande:

Calcula

a(-a)-(a-1)(a+1)

Compute

a(-a)-(a-1)(a+1)

Solución:

El determinante de coeficientes es

\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2. \end{aligned}

Se anula cuando

a=\pm\frac{\sqrt2}{2}.

Para cualquiera de los dos valores, las dos filas de coeficientes son proporcionales, pero los dos lados derechos no guardan la misma proporción, por lo que el sistema es incompatible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The coefficient determinant is

\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2. \end{aligned}

It vanishes when

a=\pm\frac{\sqrt2}{2}.

For either value, the two coefficient rows are proportional but the two right sides are not in the same ratio, so the system is inconsistent.

Thus, the correct answer is D.