1958 AMC 12 Problema 49

Question

En la expansión de

(a+b)^n

hay

n+1

términos distintos. El número de términos distintos de

(a+b+c)^{10}

es:

In the expansion of

(a+b)^n

there are

n+1

dissimilar terms. The number of dissimilar terms in the expansion of

(a+b+c)^{10}

is:

11

33

55

66

132

Cada término queda determinado por exponentes no negativos

i,j,k

que suman

10

A term is determined by nonnegative exponents

i,j,k

whose sum is

10

Cuenta las soluciones de

i+j+k=10

con estrellas y barras

Count the solutions of

i+j+k=10

by stars and bars

Cada término distinto es

a^ib^jc^k

, con enteros no negativos que satisfacen

i+j+k=10.

Por estrellas y barras, el número de ternas es

\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each distinct term is

a^ib^jc^k

for nonnegative integers satisfying

i+j+k=10.

By stars and bars, the number of such triples is

\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 49 en otros años