Soluciones del 2023 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2023 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$(8 \times 4 + 2) - (8 + 4 \times 2)$

What is the value of the following expression?

$(8 \times 4 + 2) - (8 + 4 \times 2)$

$0$

$6$

$10$

$18$

$24$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Sigue el orden de las operaciones antes de restar

Follow order of operations before subtracting

Pista grande:

Calcula por separado las dos expresiones entre paréntesis

Compute the two parenthesized expressions separately

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos simplificarlo de la siguiente manera.

$\begin{align*} (32 + 2) - (8 + 8) &= 34 - 16 \\ &= 18 \end{align*}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can simplify this as follows.

$\begin{align*} (32 + 2) - (8 + 8) &= 34 - 16 \\ &= 18 \end{align*}$

Thus, D is the correct answer.

2.

Una hoja de papel cuadrada se dobla dos veces en cuatro cuartos iguales, como se muestra abajo, y luego se corta a lo largo de la línea discontinua. Al desdoblarla, ¿con cuál de las siguientes figuras coincidirá el papel?

A square piece of paper is folded twice into four equal quarters, as shown below, then cut along the dashed line. When unfolded, the paper will match which of the following figures?

Conceptos:plegado de papel simetría

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Desdobla el corte reflejándolo a través de cada línea de doblez

Unfold the cut by reflecting it across each fold line

Pista grande:

El corte único aparece cuatro veces después de deshacer ambos dobleces

The single cut appears four times after both folds are undone

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos desdoblar el papel cortado para obtener la siguiente figura.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can unfold the cut up paper to achieve the following figure.

Thus, E is the correct answer.

3.

La sensación térmica por viento es una medida de qué tan frío sienten las personas al estar expuestas al viento en el exterior. Una buena estimación de la sensación térmica se obtiene con este cálculo:

$W=T-0.7\cdot S$

Aquí $W$ representa la sensación térmica, $T$ representa la temperatura del aire medida en grados Fahrenheit $(^{\circ}F),$ y $S$ representa la velocidad del viento medida en millas por hora (mph).

Supongamos que la temperatura del aire es $36^{\circ}F$ y la velocidad del viento es $18$ mph. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la sensación térmica aproximada?

Wind chill is a measure of how cold people feel when exposed to wind outside. A good estimate for wind chill can be found using this calculation:

$W=T-0.7\cdot S$

Here $W$ represents the wind chill, $T$ represents air temperature measured in degrees Fahrenheit $(^{\circ}F),$ and $S$ represents wind speed measured in miles per hour (mph).

Suppose the air temperature is $36^{\circ}F$ and the wind speed is $18$ mph. Which of the following is closest to the approximate wind chill?

$18$

$23$

$28$

$32$

$35$

Conceptos:sustitución decimal estimación

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Sustituye $T=36$ y $S=18$

Substitute $T=36$ and $S=18$

Pista grande:

$0.7\cdot18$ es un poco más que $12$

$0.7\cdot18$ is a little more than $12$

Solución en video:

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Solución escrita:

Usando la fórmula, la sensación térmica es

$\begin{align*} 36 - 0.7 \cdot 18 &= 36 - 12.6 \\ &=23.4. \end{align*}$

La opción más cercana es $23.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the formula, the wind chill is

$\begin{align*} 36 - 0.7 \cdot 18 &= 36 - 12.6 \\ &=23.4. \end{align*}$

The closest choice is $23.$

Thus, B is the correct answer.

4.

Los números del $1$ al $49$ se colocan en un patrón en espiral sobre una cuadrícula cuadrada, comenzando en el centro. Los primeros números ya se han escrito en la cuadrícula de abajo. Considera los cuatro números que aparecerán en las casillas sombreadas, en la misma diagonal que el número $7.$ ¿Cuántos de estos cuatro números son primos?

The numbers from $1$ to $49$ are arranged in a spiral pattern on a square grid, beginning at the center. The first few numbers have been entered into the grid below. Consider the four numbers that will appear in the shaded squares, on the same diagonal as the number $7.$ How many of these four numbers are prime?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:primo reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Continúa la espiral hasta que se complete la diagonal sombreada

Continue the spiral until the shaded diagonal is filled

Pista grande:

Verifica la divisibilidad de cada número sombreado entre primos pequeños

Check each shaded number for divisibility by small primes

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos rellenar los demás números para obtener la cuadrícula completa.

De esto, vemos que los únicos números primos en las casillas sombreadas son $19,$ $23,$ y $47.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can fill in the other numbers to get the complete grid.

From this, we can see that the only prime numbers in the shaded boxes are $19,$ $23,$ and $47.$

Thus, D is the correct answer.

5.

Un lago contiene $250$ truchas, junto con una variedad de otros peces. Cuando un biólogo marino captura y libera una muestra de $180$ peces del lago, $30$ se identifican como truchas. Supongamos que la proporción de truchas respecto al número total de peces es la misma en la muestra y en el lago. ¿Cuántos peces hay en el lago?

A lake contains $250$ trout, along with a variety of other fish. When a marine biologist catches and releases a sample of $180$ fish from the lake, $30$ are identified as trout. Assume that the ratio of trout to the total number of fish is the same in both the sample and the lake. How many fish are there in the lake?

$1250$

$1500$

$1750$

$1800$

$2000$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

La muestra tiene $30$ truchas de $180$ peces

The sample has $30$ trout out of $180$ fish

Pista grande:

Las truchas son $\frac16$ de todos los peces del lago

Trout are $\frac16$ of all fish in the lake

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que $\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}.$ Esto significa que un sexto de los peces del lago son truchas; en otras palabras, el número total de peces es $6$ veces el número de truchas.

Por lo tanto, hay $6 \cdot 250 = 1500$ peces en el lago.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that $\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}.$ This means that a sixth of the fish in the lake are trout, or in other words, the total number of fish is $6$ times the number of trout.

Therefore, there are $6 \cdot 250 = 1500$ fish in the lake.

Thus, B is the correct answer.

6.

Los dígitos $2,$ $0,$ $2,$ y $3$ se colocan en la expresión de abajo, un dígito por casilla. ¿Cuál es el valor máximo posible de la expresión?

The digits $2,$ $0,$ $2,$ and $3$ are placed in the expression below, one digit per box. What is the maximum possible value of the expression?

$0$

$8$

$9$

$16$

$18$

Conceptos:exponente optimización

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Evita poner $0$ en una base

Avoid putting $0$ in a base

Pista grande:

Usa $0$ como exponente para que uno de los factores se convierta en $1$

Use $0$ as an exponent so one factor becomes $1$

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que no queremos $0$ como base, ya que eso haría que la expresión fuera igual a $0.$

Esto significa que $0$ debe ser un exponente. El número cuyo exponente es $0$ se evaluará automáticamente como $1.$

Usar una de las dos copias de $2$ en el factor $2^0$ deja $2$ y $3$ para el otro factor.

El otro factor puede ser $2^3$ o $3^2.$ Como $3^2$ es mayor, usamos $3^2.$

Esto nos da un valor final de $2^0 \times 3^2 = 1 \times 9 = 9.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that we do not want $0$ as a base, since that would make the expression equal to $0.$

This means that $0$ must be an exponent. The number whose exponent is $0$ will automatically evaluate to $1.$

Using one of the two copies of $2$ in the factor $2^0$ leaves $2$ and $3$ for the other factor.

The other factor can then be $2^3$ or $3^2.$ Since $3^2$ is larger, we use $3^2.$

This gives us a final value of $2^0 \times 3^2 = 1 \times 9 = 9.$

Thus, C is the correct answer.

7.

Un rectángulo, con lados paralelos al eje $x$ y al eje $y$ , tiene vértices opuestos ubicados en $(15, 3)$ y $(16, 5).$ Se traza una recta que pasa por los puntos $A(0, 0)$ y $B(3, 1).$ Se traza otra recta que pasa por los puntos $C(0, 10)$ y $D(2, 9).$ ¿Cuántos puntos del rectángulo están sobre al menos una de las dos rectas?

A rectangle, with sides parallel to the $x$ -axis and $y$ -axis, has opposite vertices located at $(15, 3)$ and $(16, 5).$ A line is drawn through points $A(0, 0)$ and $B(3, 1).$ Another line is drawn through points $C(0, 10)$ and $D(2, 9).$ How many points on the rectangle lie on at least one of the two lines?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Halla las ecuaciones de las dos rectas

Find the equations of the two lines

Pista grande:

El rectángulo cumple $15\le x\le16$ y $3\le y\le5$

The rectangle has $15\le x\le16$ and $3\le y\le5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos graficar las dos rectas.

De esto, vemos que solo la esquina superior izquierda del rectángulo interseca alguna de las rectas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can graph the two lines.

From this, we see that only the top left corner of the rectangle intersects either line.

Thus, B is the correct answer.

8.

Lola, Lolo, Tiya y Tiyo participaron en un torneo de ping pong. Cada jugador compitió contra cada uno de los otros tres jugadores exactamente dos veces. Abajo se muestran los registros de victorias y derrotas de los jugadores. Los números $1$ y $0$ representan una victoria o una derrota, respectivamente. Por ejemplo, Lola ganó cinco partidos y perdió el cuarto. ¿Cuál fue el registro de victorias y derrotas de Tiyo?

Lola, Lolo, Tiya, and Tiyo participated in a ping pong tournament. Each player competed against each of the other three players exactly twice. Shown below are the win-loss records for the players. The numbers $1$ and $0$ represent a win or loss, respectively. For example, Lola won five matches and lost the fourth match. What was Tiyo’s win-loss record?

$000101$

$001001$

$010000$

$010101$

$011000$

Conceptos:deducción lógica paridad

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cada partido aporta una victoria y una derrota

Each match contributes one win and one loss

Pista grande:

En cada columna de los registros, dos entradas deben ser $1$ y las otras dos deben ser $0$

In each column of the records, two entries must equal $1$ and two must equal $0$

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada columna representa una ronda de dos partidos, por lo que toda columna debe contener exactamente dos $1$ y dos $0$ .

Al completar cada columna para que tenga dos entradas $1$ y dos entradas $0,$ obtenemos que el registro de Tiyo es $000101.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Each column represents one round of two matches, so every column must contain exactly two $1$ ’s and two $0$ ’s.

Completing each column to contain two $1$ entries and two $0$ entries gives Tiyo’s record $000101.$

Thus, A is the correct answer.

9.

Malaika está esquiando en una montaña. La gráfica de abajo muestra su elevación, en metros, sobre la base de la montaña mientras esquía por una pista. En total, ¿cuántos segundos pasa a una elevación entre $4$ y $7$ metros?

Malaika is skiing on a mountain. The graph below shows her elevation, in meters, above the base of the mountain as she skis along a trail. In total, how many seconds does she spend at an elevation between $4$ and $7$ meters?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cuenta los intervalos de tiempo en que la gráfica está entre las dos alturas

Count the time intervals where the graph is between the two heights

Pista grande:

Divide el conteo en los tres intervalos separados que se ven en la gráfica

Split the count into the three separate intervals visible on the graph

Solución en video:

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Solución escrita:

La primera vez que alcanza una elevación de $7$ metros es a los $2$ segundos.

Luego baja por debajo de $4$ metros después de $4$ segundos. Esto añade $4 - 2 = 2$ segundos a la respuesta total.

Malaika vuelve a subir por encima de $4$ metros a los $6$ segundos. Alcanza $7$ metros de nuevo a los $10$ segundos.

Esto añade $10 - 6 = 4$ segundos más al total. Finalmente baja por debajo de $7$ metros por última vez a los $12$ segundos.

Después cae por debajo de $4$ metros a los $14$ segundos, añadiendo finalmente $14 - 12 = 2$ segundos al tiempo total.

El total buscado es $2 + 4 + 2 = 8$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The first time that she hits an elevation of $7$ meters is at $2$ seconds.

She then dips below $4$ meters after $4$ seconds. This adds $4 - 2 = 2$ seconds to the total answer.

Malaika then goes above $4$ meters at $6$ seconds. She hits $7$ meters again at $10$ seconds.

This adds $10 - 6 = 4$ more seconds to the total. She finally dips below $7$ meters for the last time at $12$ seconds.

She then falls below $4$ meters at $14$ seconds, finally adding $14 - 12 = 2$ seconds to the total time.

The desired total is $2 + 4 + 2 = 8$ Thus, B is the correct answer.

10.

Harold hizo un pastel de ciruela para llevar a un picnic. Solo pudo comer $\frac{1}{4}$ del pastel y dejó el resto para sus amigos. Vino un alce y se comió $\frac{1}{3}$ de lo que Harold dejó. Después de eso, un puercoespín se comió $\frac{1}{3}$ de lo que el alce dejó. ¿Cuánto del pastel original quedaba después de que el puercoespín se fue?

Harold made a plum pie to take on a picnic. He was able to eat only $\frac{1}{4}$ of the pie, and he left the rest for his friends. A moose came by and ate $\frac{1}{3}$ of what Harold left behind. After that, a porcupine ate $\frac{1}{3}$ of what the moose left behind. How much of the original pie still remained after the porcupine left?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Trabaja con la fracción del pastel original que queda

Work with the fraction of the original pie remaining

Pista grande:

Después de Harold queda $\frac34$ ; después del alce, multiplica por $\frac23$

After Harold, $\frac34$ remains; after the moose, multiply by $\frac23$

Solución en video:

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Solución escrita:

Harold dejó $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ del pastel para sus amigos.

El alce se comió $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ del pastel, dejando $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ del pastel.

Finalmente, el puercoespín se comió $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ del pastel. Esto deja $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ del pastel.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Harold left $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ of the pie for his friends.

The moose ate $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ of the pie, leaving $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ of the pie.

Finally, the porcupine ate $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ of the pie. This leaves $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ of the pie.

Thus, D is the correct answer.

11.

El rover Perseverance de la NASA fue lanzado el $30$ de julio de $2020.$ Después de viajar $292{,}526{,}838$ millas, aterrizó en Marte en el cráter Jezero unos $6.5$ meses después. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la velocidad interplanetaria promedio del rover en millas por hora?

NASA’s Perseverance Rover was launched on July $30,$ $2020.$ After traveling $292{,}526{,}838$ miles, it landed on Mars in Jezero Crater about $6.5$ months later. Which of the following is closest to the Rover’s average interplanetary speed in miles per hour?

$6{,}000$

$12{,}000$

$60{,}000$

$120{,}000$

$600{,}000$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo estimación conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Aproxima $6.5$ meses como unos $200$ días

Approximate $6.5$ months as about $200$ days

Pista grande:

Convierte millas por día a millas por hora dividiendo entre $24$

Convert miles per day to miles per hour by dividing by $24$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos redondear la distancia a $300{,}000{,}000$ millas y aproximar $6.5$ meses como $30 \times 6.5 = 195 \approx 200$ días.

Esto da $300{,}000{,}000 \div 200 = 1{,}500{,}000$ millas por día.

Al dividir entre $24$ , obtenemos unas $62{,}500$ millas por hora, que es lo más cercano a $60{,}000.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can round the distance to $300{,}000{,}000$ miles and approximate $6.5$ months as $30 \times 6.5 = 195 \approx 200$ days.

This gives $300{,}000{,}000 \div 200 = 1{,}500{,}000$ miles per day.

Dividing by $24$ gives about $62{,}500$ miles per hour, which is closest to $60{,}000.$

Thus, C is the correct answer.

12.

La figura de abajo muestra un círculo grande sin sombrear con varios círculos más pequeños sombreados y sin sombrear en su interior. ¿Qué fracción del interior del círculo grande sin sombrear está sombreada?

The figure below shows a large unshaded circle with a number of smaller unshaded and shaded circles in its interior. What fraction of the interior of the large unshaded circle is shaded?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{11}{36}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{36}$

$\dfrac{5}{9}$

Conceptos:área del círculo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Las áreas de los círculos son proporcionales al cuadrado del radio

Circle areas are proportional to the square of the radius

Pista grande:

Cuenta el área sombreada en unidades del área del círculo más pequeño

Count shaded area in units of the smallest circle’s area

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que cada uno de los círculos más pequeños tiene radio $1.$

Esto significa que hay $3$ círculos unitarios sombreados, que suman $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ de área.

También hay un círculo sombreado de radio $4$ con dos círculos sin sombrear de radio $2$ en su interior.

Esto nos da un área sombreada adicional de $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

El área sombreada total es $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ El área del círculo grande sin sombrear es $6^2\pi = 36\pi.$ Por lo tanto, la fracción buscada es $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let each smallest circle have radius $1.$

This means that there are $3$ shaded unit circles, which total to $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ area.

There is also a shaded circle with radius $4$ with two unshaded circles of radius $2$ inside.

This gives us an extra shaded area of $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

The total shaded area is $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ The area of the large unshaded circle is $6^2\pi = 36\pi.$ Therefore, the desired fraction is $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

A lo largo del recorrido de una carrera de bicicletas, $7$ estaciones de agua están espaciadas uniformemente entre la línea de salida y la de meta, como se muestra en la figura de abajo. También hay $2$ estaciones de reparación espaciadas uniformemente entre la salida y la meta. La $3$ ª estación de agua está ubicada $2$ millas después de la $1$ ª estación de reparación. ¿Cuál es la longitud de la carrera en millas?

Along the route of a bicycle race, $7$ water stations are evenly spaced between the start and finish lines, as shown in the figure below. There are also $2$ repair stations evenly spaced between the start and finish lines. The $3$ rd water station is located $2$ miles after the $1$ st repair station. How long is the race in miles?

$8$

$16$

$24$

$48$

$96$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Siete estaciones de agua dividen la carrera en $8$ intervalos iguales

Seven water stations divide the race into $8$ equal gaps

Pista grande:

Dos estaciones de reparación dividen la carrera en $3$ intervalos iguales

Two repair stations divide the race into $3$ equal gaps

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Solución escrita:

La $3$ ª estación de agua está ubicada a $\frac{3}{8}$ del recorrido de la carrera (las estaciones de agua dividen la carrera en $8$ espacios iguales).

La primera estación de reparación está ubicada a $\frac{1}{3}$ del recorrido. La distancia entre ambas estaciones es $\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24}$ de la longitud de la carrera. Esta distancia es de $2$ millas, así que la carrera mide $24 \cdot 2 = 48$ millas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $3$ rd water station is located $\frac{3}{8}$ of the way along the race (the water stations split the race up into $8$ equal spaces).

The first repair station is located $\frac{1}{3}$ of the way along the race. The distance between the stations is $\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24}$ of the race length. This distance is $2$ miles, so the race is $24 \cdot 2 = 48$ miles long.

Thus, D is the correct answer.

14.

Nicolas planea enviar un paquete a su amigo Anton, que es coleccionista de estampillas. Para pagar el franqueo, Nicolas quisiera cubrir el paquete con una gran cantidad de estampillas. Supongamos que tiene una colección de estampillas de $5$ centavos, $10$ centavos y $25$ centavos, con exactamente $20$ de cada tipo. ¿Cuál es el mayor número de estampillas que Nicolas puede usar para formar exactamente $\$7.10$ de franqueo?

(Nota: La cantidad $\$7.10$ corresponde a $7$ dólares y $10$ centavos. Un dólar vale $100$ centavos.)

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of $5$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent stamps, with exactly $20$ of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly $\$7.10$ in postage?

(Note: The amount $\$7.10$ corresponds to $7$ dollars and $10$ cents. One dollar is worth $100$ cents.)

$45$

$46$

$51$

$54$

$55$

Conceptos:optimización aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Usa la mayor cantidad posible de estampillas de bajo valor

Use as many low-value stamps as possible

Pista grande:

Todas las estampillas de $5$ y $10$ centavos suman $300$ centavos, dejando un valor que no es múltiplo de $25$

All $5$ - and $10$ -cent stamps total $300$ cents, leaving a nonmultiple of $25$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $a,$ $b,$ $c$ las cantidades de estampillas de $5$ , $10$ , y $25$ centavos, y sea $n=a+b+c.$ Al dividir entre $5$ la ecuación del valor se obtiene $a+2b+5c=142,$ así que $n+b+4c=142.$

Supongamos que $n\ge56.$ Entonces $b+4c\le86.$ Además, $a=142-2b-5c\le20,$ así que $2b+5c\ge122.$ Al combinar estas desigualdades se obtiene $c\le16,$ pero entonces $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ una contradicción. Por lo tanto, se pueden usar como máximo $55$ estampillas.

La cota se alcanza con $a=19,$ $b=19,$ $c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Así, el mayor número posible de estampillas es $19+19+17=55.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $a,$ $b,$ $c$ be the numbers of $5$ -, $10$ -, and $25$ -cent stamps, and let $n=a+b+c.$ Dividing the value equation by $5$ gives $a+2b+5c=142,$ so $n+b+4c=142.$

Suppose $n\ge56.$ Then $b+4c\le86.$ Also $a=142-2b-5c\le20,$ so $2b+5c\ge122.$ Combining these inequalities gives $c\le16,$ but then $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ a contradiction. Thus at most $55$ stamps can be used.

The bound is attainable with $a=19,$ $b=19,$ $c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Hence the greatest possible number of stamps is $19+19+17=55.$

Thus, E is the correct answer.

15.

Viswam camina media milla para llegar a la escuela cada día. Su ruta consta de $10$ cuadras de igual longitud y tarda un minuto en caminar cada cuadra. Hoy, después de caminar $5$ cuadras, Viswam descubre que tiene que hacer un desvío, caminando $3$ cuadras de igual longitud en lugar de $1$ cuadra para llegar a la siguiente esquina. Desde el momento en que comienza su desvío, ¿a qué velocidad, en millas por hora, debe caminar Viswam para llegar a la escuela a su hora habitual?

Viswam walks half a mile to get to school each day. His route consists of $10$ city blocks of equal length and he takes one minute to walk each block. Today, after walking $5$ blocks, Viswam discovers that he has to make a detour, walking $3$ blocks of equal length instead of $1$ block to reach the next corner. From the time he starts his detour, at what speed, in miles per hour, must Viswam walk in order to arrive at school at his usual time?

$4$

$4.2$

$4.5$

$4.8$

$5$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Una cuadra es $\frac1{20}$ de milla

One block is $\frac1{20}$ mile

Pista grande:

Desde el punto del desvío, debe caminar $7$ cuadras en los $5$ minutos habituales

From the detour point, he must walk $7$ blocks in the usual $5$ minutes

Solución en video:

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Solución escrita:

Si media milla equivale a $10$ cuadras, entonces una cuadra mide $\dfrac{1}{2} \div 10 = \dfrac{1}{20}$ de milla.

Empezando desde el desvío, Viswam tiene que caminar $7 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{20}$ millas.

Normalmente, desde este punto Viswam tardaría $5$ minutos en caminar a la escuela. Ahora tiene que recorrer $\dfrac{7}{20}$ millas en $5$ minutos.

Observa que $5$ minutos son $\dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ horas. Por lo tanto, su velocidad debe ser $\begin{align*} \dfrac{\frac{7}{20}}{\frac{1}{12}} &= 12 \cdot \dfrac{7}{20} \\&= \dfrac{21}{5} \\ &= 4.2 \end{align*}$ millas por hora.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

If half a mile is the same as $10$ blocks, then one block is $\dfrac{1}{2} \div 10 = \dfrac{1}{20}$ miles.

Starting from the detour, Viswam has to walk $7 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{20}$ miles.

Normally, from this spot Viswam would take $5$ minutes to walk to school. Now he has to travel $\dfrac{7}{20}$ miles in $5$ minutes.

Note that $5$ minutes is $\dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ hours. This means his speed must be $\begin{align*} \dfrac{\frac{7}{20}}{\frac{1}{12}} &= 12 \cdot \dfrac{7}{20} \\&= \dfrac{21}{5} \\ &= 4.2 \end{align*}$ miles per hour.

Thus, B is the correct answer.

16.

Las letras $P,$ $Q$ y $R$ se colocan en una tabla de $20 \times 20$ según el patrón que se muestra abajo. ¿Cuántas $P,$ $Q$ y $R$ aparecerán en la tabla completa?

The letters $P,$ $Q,$ and $R$ are entered into a $20 \times 20$ table according to the pattern shown below. How many $P$ s, $Q$ s, and $R$ s will appear in the completed table?

$132$ $P$ , $134$ $Q$ , $134$ $R$

$132$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ $P$ , $133$ $Q$ , $134$ $R$

$133$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ $P$ , $134$ $Q$ , $133$ $R$

$133$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $133$ $R$ s

$134$ $P$ , $132$ $Q$ , $134$ $R$

$134$ $P$ s, $132$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$134$ $P$ , $133$ $Q$ , $133$ $R$

$134$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $133$ $R$ s

Conceptos:reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

El patrón se repite cada $3$ entradas a lo largo de cada fila y columna

The pattern repeats every $3$ entries along each row and column

Pista grande:

Como $20=3\cdot6+2$ , dos letras aparecen una vez más en cada línea

Since $20=3\cdot6+2$ , two letters get one extra appearance in each line

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ las $2$ letras inferiores de cada columna aparecerán una vez más que la tercera letra.

Esto significa que la tercera letra de cada columna aparecerá $6$ veces, mientras que las otras $2$ aparecerán $7$ veces.

Entre las $20$ columnas, $P$ es la letra que aparece $6$ veces en $7$ columnas y aparece $7$ veces en las otras $13$ columnas. Lo mismo ocurre con $R.$

Por lo tanto, $P$ y $R$ aparecen $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ veces cada una.

$Q$ aparecerá entonces $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ veces.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ the bottom $2$ letters in each column will occur one more time than the third letter.

This means that the third letter in each column will occur $6$ times, whereas the other $2$ will appear $7$ times.

Across the $20$ columns, $P$ is the letter that appears $6$ times in $7$ columns and appears $7$ times in the other $13$ columns. The same is true of $R.$

Thus $P$ and $R$ each appear $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ times.

$Q$ will therefore appear $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ times.

Thus, C is the correct answer.

17.

Un octaedro regular tiene ocho caras triangulares equiláteras, con cuatro caras que se encuentran en cada vértice. Jun hará el octaedro regular que se muestra en la figura doblando la hoja de papel de abajo. ¿Qué cara numerada terminará a la derecha de la región sombreada $Q$ ?

A regular octahedron has eight equilateral triangle faces with four faces meeting at each vertex. Jun will make the regular octahedron shown in the figure by folding the piece of paper below. Which numbered face will end up to the right of the shaded region $Q?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)poliedro

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Sigue qué caras se doblan alrededor de la cara sombreada $Q$

Track which faces fold around the shaded face $Q$

Pista grande:

Las caras $2,$ $3,$ $4,$ $5$ forman la mitad opuesta a $Q$

Faces $2,$ $3,$ $4,$ $5$ form the opposite half from $Q$

Solución en video:

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Solución escrita:

Comienza observando que, al doblarse, las caras etiquetadas $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ forman la mitad inferior del octaedro. Por lo tanto, las cuatro caras restantes deben formar la mitad superior del octaedro.

A partir de aquí, hemos reducido las posibilidades a $1,$ $6,$ y $7.$ Podemos ver que $6$ será la cara a la izquierda de la región sombreada $Q.$ Esto también nos da que $7$ está a la izquierda de $6.$

Por lo tanto, sabemos que la única cara restante, $1,$ debe estar a la derecha de la región sombreada $Q.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Begin by observing that when folded, the faces labelled $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ form the bottom half of the octahedron. As such, the remaining four faces must make up the top half of the octahedron.

From here, we have narrowed down our possibilities to $1,$ $6,$ and $7.$ We can see that $6$ will be the face to the left of the shaded region $Q.$ This also gives us that $7$ is to the left of $6.$

Therefore, we know that the only remaining face, $1,$ must be to the right of the shaded region $Q.$

Thus, A is the correct answer.

18.

La saltamontes Greta está sentada sobre una larga fila de nenúfares en un estanque. Desde cualquier nenúfar, Greta puede saltar $5$ nenúfares a la derecha o $3$ nenúfares a la izquierda. ¿Cuál es el menor número de saltos que Greta debe hacer para llegar al nenúfar ubicado $2023$ nenúfares a la derecha de su posición inicial?

Greta Grasshopper sits on a long line of lily pads in a pond. From any lily pad, Greta can jump $5$ pads to the right or $3$ pads to the left. What is the fewest number of jumps Greta must make to reach the lily pad located $2023$ pads to the right of her starting position?

$405$

$407$

$409$

$411$

$413$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular optimización

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Empieza con $404$ saltos a la derecha, que llegan a $2020$

Start with $404$ jumps to the right, which reaches $2020$

Pista grande:

Los saltos adicionales deben tener un desplazamiento neto de $3$

The extra jumps must have net displacement $3$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $r$ el número de saltos a la derecha y $l$ el número de saltos a la izquierda. Necesitamos $5r-3l=2023.$ Al reducir módulo $5$ , obtenemos $-3l\equiv3\pmod5$ , así que $l\equiv4\pmod5$ .

Para minimizar el número total de saltos, usamos el menor $l$ posible, es decir $l=4$ . Entonces $5r-12=2023$ , así que $r=407$ .

El menor número de saltos es $407+4=411$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $r$ be the number of right jumps and $l$ be the number of left jumps. We need $5r-3l=2023.$ Reducing modulo $5$ gives $-3l\equiv3\pmod5$ , so $l\equiv4\pmod5$ .

To minimize the total number of jumps, use the smallest possible $l$ , namely $l=4$ . Then $5r-12=2023$ , so $r=407$ .

The fewest number of jumps is $407+4=411$ .

Thus, D is the correct answer.

19.

Un triángulo equilátero se coloca dentro de un triángulo equilátero mayor de modo que la región entre ellos se pueda dividir en tres trapecios congruentes, como se muestra abajo. La longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la longitud del lado del triángulo mayor. ¿Cuál es la razón entre el área de un trapecio y el área del triángulo interior?

An equilateral triangle is placed inside a larger equilateral triangle so that the region between them can be divided into three congruent trapezoids, as shown below. The side length of the inner triangle is $\frac{2}{3}$ the side length of the larger triangle. What is the ratio of the area of one trapezoid to the area of the inner triangle?

$1 : 3$

$3 : 8$

$5 : 12$

$7 : 16$

$4 : 9$

Conceptos:razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Las áreas de triángulos semejantes escalan como el cuadrado de las longitudes de sus lados

Areas of similar triangles scale as the square of side lengths

Pista grande:

El triángulo interior tiene $\left(\frac23\right)^2$ del área del triángulo grande

The inner triangle has $\left(\frac23\right)^2$ of the large triangle’s area

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la del triángulo exterior, su área es $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ del área del triángulo exterior.

Esto significa que los tres trapecios son $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ del área del triángulo exterior.

Por lo tanto, un trapecio es $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ del área del triángulo exterior.

Esto hace que la razón entre las áreas de un trapecio y el triángulo interior sea $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the inner triangle’s side length is $\frac{2}{3}$ the side length of the outer triangle, its area is $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ the area of the outer triangle.

This means that the three trapezoids are $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ the area of the outer triangle.

Therefore, one trapezoid is $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ the area of the outer triangle.

This makes the ratio of the areas of one trapezoid and the inner triangle $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, C is the correct answer.

20.

Se insertan dos enteros en la lista $3,$ $3,$ $8,$ $11,$ $28$ para duplicar su rango. La moda y la mediana permanecen sin cambios. ¿Cuál es la suma máxima posible de los dos números adicionales?

Two integers are inserted into the list $3,$ $3,$ $8,$ $11,$ $28$ to double its range. The mode and median remain unchanged. What is the maximum possible sum of the two additional numbers?

$56$

$57$

$58$

$60$

$61$

Conceptos:rango mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

El rango original es $25$ , así que el nuevo rango debe ser $50$

The original range is $25$ , so the new range must be $50$

Pista grande:

Para mantener la mediana en $8$ , agrega un número por debajo de $8$ y otro por encima de $8$

To keep the median $8$ , add one number below $8$ and one above $8$

Solución en video:

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Solución escrita:

El rango original es $28-3=25,$ así que el nuevo rango debe ser $50.$ Para conservar la mediana $8,$ un número añadido $x$ debe ser menor que $8$ y el otro, $y,$ debe ser mayor que $8.$

Si $x\ge3,$ el mínimo sigue siendo $3,$ así que el nuevo máximo debe ser $53.$ El valor $x=3$ cambiaría la moda, por lo que $x\le7.$ Por tanto, $x+y\le7+53=60.$

Si $x<3$ y $y>28,$ entonces $y-x=50,$ de modo que $x+y=2x+50\le54.$ Si $y\le28,$ el máximo sigue siendo $28,$ lo que obliga a $x=-22$ y produce una suma aún menor. Por tanto, ningún caso supera $60.$

Los valores $x=7$ y $y=53$ conservan la moda y la mediana y producen un rango de $50,$ así que la suma máxima es $60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The original range is $28-3=25,$ so the new range must be $50.$ To keep the median $8,$ one added number $x$ must be less than $8$ and the other, $y,$ must be greater than $8.$

If $x\ge3,$ the minimum remains $3,$ so the new maximum must be $53.$ The value $x=3$ would change the mode, so $x\le7.$ Hence $x+y\le7+53=60.$

If $x<3$ and $y>28,$ then $y-x=50,$ so $x+y=2x+50\le54.$ If $y\le28,$ the maximum remains $28,$ forcing $x=-22$ and giving an even smaller sum. Therefore no case exceeds $60.$

The values $x=7$ and $y=53$ preserve the mode and median and give range $50,$ so the maximum sum is $60.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Alina escribe los números $1,$ $2,$ $\cdots,$ $9$ en tarjetas separadas, un número por tarjeta. Desea dividir las tarjetas en $3$ grupos de $3$ tarjetas de modo que la suma de los números en cada grupo sea la misma. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Alina writes the numbers $1,$ $2,$ $\cdots,$ $9$ on separate cards, one number per card. She wishes to divide the cards into $3$ groups of $3$ cards so that the sum of the numbers in each group will be the same. In how many ways can this be done?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:particiones y composiciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Cada grupo debe tener suma $15$

Each group must have sum $15$

Pista grande:

Observa el grupo que contiene el $9$

Look at the group containing $9$

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de todos los números es $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ Esto significa que la suma de cada grupo es $45 \div 3 = 15.$

Considera el grupo que contiene el $9$ . Los otros dos números deben sumar $6.$ Por lo tanto, las otras tarjetas de este grupo son $1$ y $5$ , o $2$ y $4.$

Caso $1:$ Un grupo es $1,$ $5,$ y $9.$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $3$ y $4$ con las tarjetas restantes.

El otro grupo es entonces $2,$ $6,$ y $7.$ Esto suma $15,$ así que este caso aporta una posibilidad.

Caso $2:$ Un grupo es $2,$ $4,$ y $9.$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Como antes, los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $1$ y $6.$

El grupo final es $3,$ $5,$ y $7,$ que suma $15.$ Esta es otra configuración.

Hemos revisado todos los casos, lo que reveló que solo hay $2$ agrupaciones posibles.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers is $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ This means that the sum of each group is $45 \div 3 = 15.$

Consider the group with $9$ in it. The other two numbers must add to $6.$ Therefore, the other cards in this group are $1$ and $5$ or $2$ and $4.$

Case $1:$ One group is $1,$ $5,$ and $9.$

Consider the group with $8$ in it. The other numbers must add to $7.$ The only option is $3$ and $4$ with the remaining cards.

The other group is then $2,$ $6,$ and $7.$ This adds to $15,$ so this case contributes one possibility.

Case $2:$ One group is $2,$ $4,$ and $9.$

Consider the group with $8$ in it. As above, the other numbers have to add to $7.$ The only option is $1$ and $6.$

The final group is $3,$ $5,$ and $7,$ which adds to $15.$ This is another configuration.

We have gone through all the cases, which revealed that there are only $2$ possible groupings.

Thus, C is the correct answer.

22.

En una sucesión de enteros positivos, cada término después del segundo es el producto de los dos términos anteriores. El sexto término de la sucesión es $4000.$ ¿Cuál es el primer término?

In a sequence of positive integers, each term after the second is the product of the previous two terms. The sixth term in the sequence is $4000.$ What is the first term?

$1$

$2$

$4$

$5$

$10$

Conceptos:recursión factorización en primos

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Escribe los primeros términos usando el primer término $x$ y el segundo término $y$

Write the first several terms using first term $x$ and second term $y$

Pista grande:

El sexto término es $x^3y^5$

The sixth term is $x^3y^5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el primer término y $y$ el segundo.

Entonces obtenemos la siguiente sucesión: $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ Por lo tanto, $x^3y^5 = 4000.$

Al factorizar $4000,$ obtenemos $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ Como $x$ y $y$ son enteros positivos, las únicas potencias quintas que dividen a $4000$ son $1$ y $32.$

Si $y = 1,$ entonces $x^3 = 4000,$ lo cual es imposible porque $4000$ no es un cubo perfecto. Por lo tanto, $y^5 = 32$ y $y = 2.$

Esto obliga a que $x$ sea igual a $5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the first term and $y$ be the second.

Then we get the following sequence: $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ Thus $x^3y^5 = 4000.$

Factoring $4000,$ gives $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ Because $x$ and $y$ are positive integers, the only fifth powers that divide $4000$ are $1$ and $32.$

If $y = 1,$ then $x^3 = 4000,$ which is impossible because $4000$ is not a perfect cube. Therefore, $y^5 = 32$ and $y = 2.$

This forces $x$ to equal $5.$

Thus, D is the correct answer.

23.

Cada casilla de una cuadrícula de $3 \times 3$ se llena aleatoriamente con una de las $4$ fichas sombreadas y sin sombrear que se muestran abajo, a la derecha.

¿Cuál es la probabilidad de que el mosaico contenga un gran rombo sombreado en una de las cuadrículas menores de $2 \times 2$ ? Abajo se muestra un ejemplo de tal mosaico.

Each square in a $3 \times 3$ grid is randomly filled with one of the $4$ shaded-and-unshaded tiles shown below on the right.

What is the probability that the tiling will contain a large shaded diamond in one of the smaller $2 \times 2$ grids? Below is an example of such a tiling.

$\dfrac{1}{1024}$

$\dfrac{1}{256}$

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Elige qué cuadrícula de $2\times2$ contiene el gran rombo

Choose which $2\times2$ grid contains the large diamond

Pista grande:

Una vez elegida una cuadrícula de $2\times2$ , las orientaciones de sus cuatro fichas quedan determinadas

Once a $2\times2$ grid is chosen, its four tile orientations are forced

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $4^9$ mosaicos posibles. Hay $4$ cuadrículas de $2\times2$ posibles donde podría aparecer un gran rombo sombreado.

Después de elegir una de estas cuadrículas de $2\times2$ , las orientaciones de las cuatro fichas dentro de ella quedan determinadas, y las otras $5$ casillas se pueden llenar de cualquier manera. Esto da $4^5$ mosaicos para cada cuadrícula de $2\times2$ elegida.

Dos cuadrículas de $2\times2$ diferentes no pueden contener ambas un gran rombo sombreado, porque sus casillas superpuestas requerirían orientaciones de fichas incompatibles. Por lo tanto, el número de mosaicos favorables es $4\cdot4^5=4^6.$

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $4^9$ possible tilings. There are $4$ possible $2\times2$ grids where a large shaded diamond could appear.

After one of these $2\times2$ grids is chosen, the four tile orientations inside it are forced, and the other $5$ squares can be filled in any way. This gives $4^5$ tilings for each chosen $2\times2$ grid.

Two different $2\times2$ grids cannot both contain a large shaded diamond, because their overlapping squares would require incompatible tile orientations. Therefore the number of favorable tilings is $4\cdot4^5=4^6.$

The desired probability is then $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Thus, C is the correct answer.

24.

El triángulo isósceles $ABC$ tiene lados iguales $AB$ y $BC.$ En las figuras de abajo, se trazan segmentos paralelos a $\overline{AC}$ de modo que las porciones sombreadas de $\triangle ABC$ tengan la misma área. Las alturas de las dos porciones sin sombrear son $11$ y $5$ unidades, respectivamente. ¿Cuál es la altura $h$ de $\triangle ABC$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has equal side lengths $AB$ and $BC.$ In the figures below, segments are drawn parallel to $\overline{AC}$ so that the shaded portions of $\triangle ABC$ have the same area. The heights of the two unshaded portions are $11$ and $5$ units, respectively. What is the height $h$ of $\triangle ABC?$

$14.6$

$14.8$

$15$

$15.2$

$15.4$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Áreas sombreadas iguales dan una ecuación entre las áreas de los dos triángulos sin sombrear

Equal shaded areas give an equation between the two unshaded triangle areas

Pista grande:

Las áreas de triángulos semejantes escalan como el cuadrado de sus alturas

Similar triangle areas scale as the square of their heights

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $a$ el área de $\triangle ABC.$ El triángulo sin sombrear de la figura izquierda tiene altura $11$ y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es $a\left(\frac{11}{h}\right)^2.$ Por lo tanto, el área sombreada de esa figura es $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).$

En la figura derecha, el triángulo sombreado tiene altura $h-5$ y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.$ Al igualar las áreas sombreadas y cancelar $a$ , obtenemos $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

Al simplificar, resulta $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ Esto se reduce a $10h = 146,$

así que $h=14.6.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $a$ be the area of $\triangle ABC.$ The unshaded triangle in the left figure has height $11$ and is similar to the full triangle, so its area is $a\left(\frac{11}{h}\right)^2.$ Therefore, the shaded area there is $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).$

In the right figure, the shaded triangle has height $h-5$ and is similar to the full triangle, so its area is $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.$ Equating the shaded areas and canceling $a$ gives $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

Simplifying yields $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ This simplifies to $10h = 146,$

so $h=14.6.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Quince enteros $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\cdots,$ $a_{15}$ están ordenados en una recta numérica. Los enteros están igualmente espaciados y cumplen que

$1 \leq a_1 \leq 10,$

$13 \leq a_2 \leq 20,$

y

$241 \leq a_{15} \leq 250.$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $a_{14}$ ?

Fifteen integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\cdots,$ $a_{15}$ are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that

$1 \leq a_1 \leq 10,$

$13 \leq a_2 \leq 20,$

and

$241 \leq a_{15} \leq 250.$

What is the sum of the digits of $a_{14}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:sucesión aritmética acotación a casos límite dígitos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sea $d$ la diferencia común

Let $d$ be the common difference

Pista grande:

Usa los límites más amplios posibles para $a_1$ y $a_{15}$ para forzar $d$

Use the widest possible bounds for $a_1$ and $a_{15}$ to force $d$

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

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Solución escrita:

Sea $d$ la diferencia común. Usando el mayor valor posible, $10$ , para $a_1$ y el menor valor posible, $241$ , para $a_{15},$ obtenemos $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Como todos los números son enteros, $d$ debe ser al menos $17.$

Usando el menor valor posible, $1$ , para $a_1$ y el mayor valor posible, $250$ , para $a_{15},$ obtenemos $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Como todos los números son enteros, $d$ es a lo sumo $17.$ Por lo tanto, $d=17.$

Observa que $17 \cdot 14 = 238.$ Como $a_{15}$ es por lo menos $241,$ $a_1$ debe ser al menos $3.$

Por otro lado, si $a_1$ fuera mayor que $3,$ entonces $a_2=a_1+17$ sería mayor que $20,$ lo cual no está permitido.

Ahora sabemos que $a_1 = 3$ y $d = 17.$ Esto nos dice que $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Por lo tanto, la suma de los dígitos es $2 + 2 + 4 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $d$ be the common difference. Using the largest possible value $10$ for $a_1$ and the smallest possible value $241$ for $a_{15},$ we have $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Since all the numbers are integers, $d$ must be at least $17.$

Using the smallest possible value $1$ for $a_1$ and the largest possible value $250$ for $a_{15},$ we have $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Since all the numbers are integers, $d$ is at most $17.$ Therefore, $d=17.$

Note that $17 \cdot 14 = 238.$ Since $a_{15}$ is at least $241,$ $a_1$ must be at least $3.$

On the other hand, if $a_1$ were greater than $3,$ then $a_2=a_1+17$ would be greater than $20,$ which is not allowed.

Now we know that $a_1 = 3$ and $d = 17.$ This tells us that $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Therefore, sum of the digits is $2 + 2 + 4 = 8.$

Thus, A is the correct answer.