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1993 AIME 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

设

P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8

。对整数

n\geq1

，定义

P_n(x)=P_{n-1}(x-n)

。求

x

在

P_{20}(x)

中的系数。

Let

P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.

For integers

n\geq1,

define

P_n(x)=P_{n-1}(x-n).

What is the coefficient of

x

in

P_{20}(x)?

答案

答案：763

知识点：代数变形二项式定理多项式

难度评级：1910

小提示：

合并反复进行的平移，将

P_{20}

直接用

P_0

表示

Collapse the repeated shifts to write

P_{20}

directly in terms of

P_0

大提示：

代入

x-210

后，只收集一次项

Only collect the linear terms after substituting

x-210

解答：

累计平移量为

1+2+\cdots+20=210

，所以

P_{20}(x)=P_0(x-210)

。因此

x

的系数为

\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763\end{aligned}\text{。}

The accumulated shift is

1+2+\cdots+20=210,

so

P_{20}(x)=P_0(x-210).

The coefficient of

x

is therefore

\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763.\end{aligned}