1984 AIME 第 9 题

Question

在四面体

ABCD

中，棱

AB

长

3

厘米。面

ABC

的面积为

15\text{ cm}^2

，面

ABD

的面积为

12\text{ cm}^2

。这两个面之间的夹角为

30^\circ

。求该四面体的体积，单位为

\text{cm}^3

。

In tetrahedron

ABCD,

edge

AB

has length

3

cm. The area of face

ABC

is

15\text{ cm}^2

and the area of face

ABD

is

12\text{ cm}^2.

These two faces meet each other at a

30^\circ

angle. Find the volume of the tetrahedron in

\text{cm}^3.

答案

答案：20

知识点：立体几何三角形面积体积

难度评级：2650

小提示：

求

C

和

D

到公共棱

AB

的高

Find the altitudes from

C

and

D

to the common edge

AB

大提示：

用公共棱长、两条高以及二面角的正弦表示四面体的体积

Express the tetrahedron’s volume using the common edge, the two altitudes, and the sine of the dihedral angle

解答：

设

h_C

和

h_D

分别为

C

和

D

到

AB

的垂直距离。由两个面的面积可得

\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8 \end{aligned}\text{。}

这两个垂直方向之间的夹角就是

30^\circ

的二面角。因此，由标量三重积可得

\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20 \end{aligned}\text{。}

Let

h_C

and

h_D

be the perpendicular distances from

C

and

D

to

AB.

From the two face areas,

\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}

The angle between these two perpendicular directions is the

30^\circ

dihedral angle. Hence the scalar triple product gives

\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}

1984 AIME 第 9 题

答案：20

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

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