1985 AIME 第 13 题

Question

数列

101

、

104

、

109

、

116

、

\ldots

中的各数均形如

a_n=100+n^2

，其中

n=1

、

2

、

3

、

\ldots

。对每个

n

，令

d_n

为

a_n

与

a_{n+1}

的最大公因数。当

n

遍历所有正整数时，求

d_n

的最大值。

The numbers in the sequence

101,

104,

109,

116,

\ldots

are of the form

a_n=100+n^2,

where

n=1,

2,

3,

\ldots.

For each

n,

let

d_n

be the greatest common divisor of

a_n

and

a_{n+1}.

Find the maximum value of

d_n

as

n

ranges through the positive integers.

答案

答案：401

知识点：最大公约数代数变形质数

难度评级：2410

小提示：

相邻两项的公因数也整除它们的差

2n+1

A common divisor of consecutive terms also divides their difference

2n+1

大提示：

组合

n^2+100

与

2n+1

，证明其最大公因数整除一个固定质数

Combine

n^2+100

and

2n+1

to show that the gcd divides a fixed prime

解答：

公因数

d_n

整除

a_{n+1}-a_n=2n+1\text{。}

因此它也整除

\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401 \end{aligned}\text{。}

由于

401

是质数，

d_n\leq401

。当

n=200

时等号成立，因为

2n+1=401

，且

n^2+100=40100=100\cdot401

。所以最大值为

401

。

A common divisor

d_n

divides

a_{n+1}-a_n=2n+1.

It therefore also divides

\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}

Since

401

is prime,

d_n\leq401.

Equality occurs at

n=200,

because

2n+1=401

and

n^2+100=40100=100\cdot401.

Hence the maximum is

401.

1985 AIME 第 13 题

答案：401

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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