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1985 AIME 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

设

x_1=97

，且当

n\gt1

时，令

x_n=\frac{n}{x_{n-1}}

。求乘积

x_1x_2\cdots x_8

。

Let

x_1=97,

and for

n\gt1

let

x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.

Calculate the product

x_1x_2\cdots x_8.

答案

答案：384

知识点：递推代数变形

难度评级：1610

小提示：

利用递推关系将相邻项相乘

Multiply consecutive terms using the recurrence

大提示：

将所求乘积组合为

(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)

Group the requested product as

(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)

解答：

由递推关系可得

x_{n-1}x_n=n

。因此

\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384 \end{aligned}\text{。}

The recurrence gives

x_{n-1}x_n=n.

Therefore

\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}