1985 AIME 第 6 题

Question

如图所示，从三角形

ABC

的各顶点作经过同一内部点的直线，将它分成六个小三角形。其中四个三角形的面积已标在图中。求三角形

ABC

的面积。

As shown in the figure, triangle

ABC

is divided into six smaller triangles by lines drawn from the vertices through a common interior point. The areas of four of these triangles are as indicated. Find the area of triangle

ABC.

答案

答案：315

知识点：三角形面积面积比塞瓦定理

难度评级：2440

小提示：

将右上方未标出的面积记为

x

，将左上方未标出的面积记为

y

Call the upper-right unlabeled area

x

and the upper-left unlabeled area

y

大提示：

结合等高三角形的面积比与塞瓦定理

Use equal-altitude area ratios along the sides, together with Ceva’s theorem

解答：

将右上方和左上方两个未标出的面积分别记为

x

和

y

。由三个分边比和塞瓦定理可得

\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1\text{，}

所以

xy=3920

。

从

A

引出的塞瓦线与

BC

相交。

BC

上两段的长度比为

\frac{35}{x}

。利用以

A

为共同顶点的两个大三角形计算同一个比值，得到

\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84}\text{，}

因而

y+84=2x

。与

xy=3920

联立求解，得

x=70

，且

y=56

。因此

\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315 \end{aligned}\text{。}

Let the unlabeled upper-right and upper-left areas be

x

and

y,

respectively. The three side-division ratios and Ceva’s theorem give

\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,

so

xy=3920.

The cevian from

A

meets

BC.

The ratio of the two segments of

BC

is

\frac{35}{x}.

Computing the same ratio from the two large triangles with vertex

A

gives

\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},

so

y+84=2x.

Solving with

xy=3920

yields

x=70

and

y=56.

Therefore

\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}

1985 AIME 第 6 题

答案：315

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题