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1995 AIME 第 6 题

先试着解答 1995 AIME 第 6 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1995 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

令

n=2^{31}3^{19}

。

n^2

的正整数因数中，有多少个小于

n

但不能整除

n

？

Let

n=2^{31}3^{19}.

How many positive integer divisors of

n^2

are less than

n

but do not divide

n?

答案

答案：589

知识点：因数个数配对与分组质因数分解

难度评级：2270

小提示：

将每个因数

d

（它是

n^2

的因数）与

\frac{n^2}{d}

配对

Pair each divisor

d

of

n^2

with

\frac{n^2}{d}

大提示：

在小于

n

的因数中，减去那些已经能整除

n

的因数

Among the divisors below

n

, subtract those that already divide

n

解答：

n^2=2^{62}3^{38}

有

63\cdot39=2457

个因数。把

d

与

\frac{n^2}{d}

配对时，只有

n

没有配对，所以有

\frac{2457-1}{2}=1228

个因数小于

n

。数

n

有

32\cdot20=640

个因数，其中

639

个小于

n

。因此所求数量为

1228-639=589

。

The number

n^2=2^{62}3^{38}

has

63\cdot39=2457

divisors. Pairing

d

with

\frac{n^2}{d}

leaves only

n

unpaired, so

\frac{2457-1}{2}=1228

divisors lie below

n.

The number

n

has

32\cdot20=640

divisors, of which

639

are below

n.

Therefore the requested count is

1228-639=589.