1993 AIME 第 6 题

Question

能同时表示为九个连续整数之和、十个连续整数之和以及十一个连续整数之和的最小正整数是多少？

What is the smallest positive integer that can be expressed as the sum of nine consecutive integers, the sum of ten consecutive integers, and the sum of eleven consecutive integers?

答案

答案：495

知识点：等差数列最小公倍数模运算

难度评级：1740

小提示：

奇数个连续整数之和能被项数整除

A sum of an odd number of consecutive integers is divisible by the number of terms

大提示：

十个连续整数之和同余于

5\pmod {10}

A sum of ten consecutive integers is congruent to

5\pmod {10}

解答：

9

个和

11

个连续整数之和分别能被

9

和

11

整除，所以所求数是

99

的倍数。

10

个连续整数之和形如

10a+45

，因此同余于

5\pmod {10}

。在

99

的倍数中，第一个末位为

5

的数是

5\cdot99=495

，并且它确实具有题目要求的三种表示。

The sums of

9

and

11

consecutive integers are divisible by

9

and

11,

so the desired number is a multiple of

99.

A sum of

10

consecutive integers has the form

10a+45,

hence is congruent to

5\pmod {10}.

The first multiple of

99

ending in

5

is

5\cdot99=495,

and each of the three required representations then exists.

1993 AIME 第 6 题

答案：495

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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