1987 AIME 第 11 题

Question

使

3^{11}

可以表示为

k

个连续正整数之和的最大

k

是多少？

Find the largest possible

k

for which

3^{11}

is expressible as the sum of

k

consecutive positive integers.

答案

答案：486

知识点：等差数列整除性指数

难度评级：2070

小提示：

将这个和写成

\frac{k(2a+k-1)}{2}

Write the sum as

\frac{k(2a+k-1)}{2}

大提示：

可能的项数只能是

2\cdot3^{11}

的因数；再要求首项为正

The only possible lengths divide

2\cdot3^{11}

; then enforce a positive first term

解答：

若首项为

a

，则

2\cdot3^{11}=k(2a+k-1)

。因此

k

的形式为

3^j

或

2\cdot3^j

。可行的最大偶数选择为

k=2\cdot3^5=486

，此时

2a+k-1=3^6=729

，且

a=122>0

。接下来的候选值

3^6

和

2\cdot3^6

，都会使首项非正，所有更大的选择也是如此。因此

k=486

。

If the first term is

a,

then

2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).

Thus

k

is

3^j

or

2\cdot3^j.

The largest viable even choice is

k=2\cdot3^5=486,

for which

2a+k-1=3^6=729

and

a=122>0.

The next candidates,

3^6

and

2\cdot3^6,

force a nonpositive first term, as do all larger choices. Hence

k=486.

1987 AIME 第 11 题

答案：486

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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