1988 AIME 第 9 题

Question

求立方的末三位为

888

的最小正整数。

Find the smallest positive integer whose cube ends in

888.

答案

答案：192

知识点：模运算个位数字二次方程

难度评级：1880

小提示：

个位数字说明该数必形如

10a+2

The units digit forces the number to have the form

10a+2

大提示：

先将

(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}

模

125

化简

Reduce

(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}

first modulo

125

解答：

将该数写成

10a+2

。把所需同余式模

125

展开并除以

5

，得到

20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}\text{。}

先模

5

化简，得

a\equiv4\pmod5

；再代入

a=4+5b

，得

b\equiv3\pmod5

。因此

a\equiv19\pmod{25}

，最小候选值为

10(19)+2=192

。它是偶数，所以其立方也满足

0\pmod8

，且确有

192^3=7{,}077{,}888

。

Write the number as

10a+2.

Expanding the required congruence modulo

125

and dividing by

5

gives

20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.

Reducing first modulo

5

gives

a\equiv4\pmod5;

substituting

a=4+5b

then gives

b\equiv3\pmod5.

Thus

a\equiv19\pmod{25},

and the smallest candidate is

10(19)+2=192.

It is even, so its cube is also

0\pmod8,

and indeed

192^3=7{,}077{,}888.

1988 AIME 第 9 题

答案：192

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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