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1988 AIME 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

若

\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x)

，求

(\log_2 x)^2

。

Find

(\log_2 x)^2

if

\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).

答案

答案：27

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1860

小提示：

令

y=\log_2x

，并将所有以

8

为底的对数改写成以

2

为底

Set

y=\log_2x

and rewrite every base-

8

logarithm in base

2

大提示：

解出所得一次方程中的

\log_2 y

Solve the resulting linear equation for

\log_2 y

解答：

令

y=\log_2x\gt0

。因为

\log_8x=\frac{y}{3}

，原方程化为

\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y\text{。}

因而

\frac23\log_2y=\log_23

，所以

y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3

。因此

(\log_2x)^2=y^2=27

。

Put

y=\log_2x\gt0.

Since

\log_8x=\frac{y}{3},

the equation becomes

\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.

Hence

\frac23\log_2y=\log_23,

so

y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.

Therefore

(\log_2x)^2=y^2=27.