1991 AIME 第 8 题

Question

有多少个实数

a

能使二次方程

x^2+ax+6a=0

关于

x

的所有根都是整数？

For how many real numbers

a

does the quadratic equation

x^2+ax+6a=0

have only integer roots for

x?

答案

答案：10

知识点：丢番图方程韦达定理因式分解

难度评级：1860

小提示：

设两个整数根为

r

和

s

，用韦达定理消去

a

。

Let the two integer roots be

r

and

s

, and eliminate

a

using Vieta’s formulas

大提示：

得到

rs=-6(r+s)

后，将它配成一个乘积。

Complete a product after obtaining

rs=-6(r+s)

解答：

设整数根为

r

和

s

。由韦达定理，

r+s=-a

且

rs=6a

，所以

rs=-6(r+s)

。因此

(r+6)(s+6)=36\text{。}

反过来，

uv=36

的每个有序整数分解都会给出整数根

r=u-6

、

s=v-6

，以及

a=12-u-v

。

36

的无序正因数对之和为

37

、

20

、

15

、

13

、

12

，相应的负因数对之和则分别为这些数的相反数。这十个和互不相同，因此给出

a

的

10

个不同取值。

Let the integer roots be

r

and

s.

Vieta’s formulas give

r+s=-a

and

rs=6a,

so

rs=-6(r+s).

Therefore

(r+6)(s+6)=36.

Conversely, every ordered integer factorization

uv=36

gives integer roots

r=u-6,

s=v-6,

and

a=12-u-v.

Unordered positive factor pairs of

36

have sums

37,

20,

15,

13,

12,

and the corresponding negative factor pairs have their negatives as sums. These ten sums are distinct, so they give

10

distinct values of

a.

1991 AIME 第 8 题

答案：10

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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