1993 AIME 第 11 题

Question

阿尔弗雷德和邦妮轮流抛一枚均匀硬币进行游戏，每局最先抛出正面的人获胜。他们连续进行若干局，并规定上一局的失败者在下一局先抛。已知第一局由阿尔弗雷德先抛，且他赢得第六局的概率为

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。

m+n

的末三位数字是什么？

Alfred and Bonnie play a game in which they take turns tossing a fair coin. The winner of a game is the first person to obtain a head. Alfred and Bonnie play this game several times with the stipulation that the loser of a game goes first in the next game. Suppose that Alfred goes first in the first game, and that the probability that he wins the sixth game is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What are the last three digits of

m+n?

答案

答案：93

知识点：基本概率递推递推概率

难度评级：2370

小提示：

分别计算阿尔弗雷德先抛和邦妮先抛时，阿尔弗雷德赢得一局的概率

Compute Alfred’s chance to win a single game when he goes first and when Bonnie goes first

大提示：

若

p_r

是阿尔弗雷德赢得第

r

局的概率，将

p_{r+1}

表示成

p_r

的式子

If

p_r

is Alfred’s chance to win game

r

, express

p_{r+1}

in terms of

p_r

解答：

阿尔弗雷德先抛时，赢得一局的概率为

\frac{2}{3}

；邦妮先抛时，该概率为

\frac{1}{3}

。由于失败者在下一局先抛，

\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23\end{aligned}\text{。}

因此

p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}

。特别地，

p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}

。所以

m+n=1093

，其末三位数字为

093

。

Alfred wins a game with probability

\frac{2}{3}

when he starts and

\frac{1}{3}

when Bonnie starts. Since the loser starts the next game,

\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23.\end{aligned}

Thus

p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}.

In particular,

p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}.

Therefore

m+n=1093,

whose last three digits are

093.

1993 AIME 第 11 题

答案：93

难度评级：2370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题