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1995 AIME 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

已知

(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54\text{，}

并且

\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k\end{aligned}\text{，}

其中

k

、

m

和

n

是正整数，且

m

与

n

互质。求

k+m+n

。

Given that

(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54

and

\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}

where

k,

m,

and

n

are positive integers with

m

and

n

relatively prime, find

k+m+n.

答案

答案：27

知识点：三角恒等式对称性（代数）根式

难度评级：1900

小提示：

令

u=\sin t+\cos t

，并将

\sin t\cos t

用

u

表示

Set

u=\sin t+\cos t

and express

\sin t\cos t

in terms of

u

大提示：

两个给定的乘积都可写成关于

u

的一个完全平方的一半

Both given products become half of a perfect square in

u

解答：

令

u=\sin t+\cos t

。由于

\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2}

，

\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54\end{aligned}\text{。}

符合条件的符号选择给出

u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}

。因此

\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}\end{aligned}\text{。}

所以

k+m+n=10+13+4=27

。

Let

u=\sin t+\cos t.

Since

\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},

\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}

The feasible sign gives

u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.

Therefore

\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}

Thus

k+m+n=10+13+4=27.