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1996 AIME 第 2 题

先试着解答 1996 AIME 第 2 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1996 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

对每个实数

x

，用

\lfloor x\rfloor

表示不超过

x

的最大整数。有多少个正整数

n

同时满足

n<1000

，并且

\lfloor\log_2 n\rfloor

是正偶数？

For each real number

x,

let

\lfloor x\rfloor

denote the greatest integer that does not exceed

x.

For how many positive integers

n

is it true that

n<1000

and that

\lfloor\log_2 n\rfloor

is a positive even integer?

答案

答案：340

知识点：取整函数对数区间内整数计数

难度评级：1740

小提示：

把

\lfloor\log_2n\rfloor

的每个可能值转化为一个以二的幂为端点的区间

Translate each possible value of

\lfloor\log_2n\rfloor

into a power-of-two interval

大提示：

小于

1000

的可能偶数值为

2

、

4

、

6

和

8

The possible even values below

1000

are

2,

4,

6,

and

8

解答：

若

\lfloor\log_2n\rfloor=k

，则

2^k\leq n<2^{k+1}

。

k

可以取

2

、

4

、

6

或

8

，因为

2^{10}>1000

。对应区间中的整数个数分别为

2^2

、

2^4

、

2^6

和

2^8

。因此所求个数为

4+16+64+256=340\text{。}

If

\lfloor\log_2n\rfloor=k,

then

2^k\leq n<2^{k+1}.

The value of

k

can be

2,

4,

6,

or

8,

since

2^{10}>1000.

The corresponding interval sizes are

2^2,

2^4,

2^6,

and

2^8.

Therefore the requested number is

4+16+64+256=340.