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1951 AMC 12 第 44 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

44.

若

\dfrac{xy}{x+y}=a

、

\dfrac{xz}{x+z}=b

、

\dfrac{yz}{y+z}=c

，其中

a

、

b

、

c

均不为零，则

x

等于：

If

\dfrac{xy}{x+y}=a,

\dfrac{xz}{x+z}=b,

and

\dfrac{yz}{y+z}=c,

where

a,

b,

c

are other than zero, then

x

equals:

\dfrac{abc}{ab+ac+bc}

\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}

\dfrac{2abc}{ab+ac-bc}

\dfrac{2abc}{ab+bc-ac}

\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}

答案：E

知识点：方程组代数变形

难度评级：1830

小提示：

将三个已知等式都取倒数，使其成为关于

\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}

的线性等式

Invert all three given equations to make them linear in

\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}

大提示：

计算

\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x

Compute

\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x

解答：

分别取倒数，得到

\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c \end{gathered}\text{。}

将前两式相加，再减去第三式，得到

\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc} \end{aligned}\text{。}

因此

x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}

。

因此，正确答案是 E。

Inverting gives

\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}

Adding the first two and subtracting the third yields

\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}

Hence

x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.

Thus, the correct answer is E.

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