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1951 AMC 12 第 47 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

47.

若

r

和

s

是方程

ax^2+bx+c=0

的根，则

\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}

的值为：

If

r

and

s

are the roots of the equation

ax^2+bx+c=0,

the value of

\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}

is:

b^2-4ac

\dfrac{b^2-4ac}{2a}

\dfrac{b^2-4ac}{c^2}

\dfrac{b^2-2ac}{c^2}

以上答案均不正确

None of these

答案：D

知识点：韦达定理代数变形

难度评级：1530

小提示：

将表达式通分，使其公分母为

r^2s^2

Write the expression over the common denominator

r^2s^2

大提示：

使用

r+s=-\frac{b}{a}

和

rs=\frac{c}{a}

Use

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}

解答：

由韦达定理，

r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca\text{。}

因此

\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

By Vieta’s formulas,

r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.

Therefore

\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

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