1958 AMC 12 第 47 题

Question

ABCD

是一个矩形，如附图所示，

P

是

\overline{AB}

上任意一点。

PS\perp BD

且

PR\perp AC

。

AF\perp BD

且

PQ\perp AF

。则

PR+PS

等于：

ABCD

is a rectangle (see the accompanying diagram) with

P

any point on

\overline{AB}.

PS\perp BD

and

PR\perp AC.

AF\perp BD

and

PQ\perp AF.

Then

PR+PS

is equal to:

PQ

AE

PT+AT

AF

EF

答案：D

知识点：矩形平行线相似

难度评级：2070

小提示：

由

PQ\parallel BD

和

PS\parallel AF

，找出

F

与

S

附近的小平行四边形

Because

PQ\parallel BD

and

PS\parallel AF,

identify the small parallelogram near

F

and

S

大提示：

利用交点

T=PQ\cap AC

比较直角三角形

PTR

和

ATQ

Use the intersection

T=PQ\cap AC

to compare the right triangles

PTR

and

ATQ

解答：

由于

AF\perp BD

且

PQ\perp AF

，有

PQ\parallel BD

。又因

PS\perp BD

，所以

PS\parallel AF

。因此四边形

QPSF

是矩形，且

PS=QF\text{。}

令

T=PQ\cap AC

。矩形的两条对角线与边

AB

所成角相等，所以

\angle PAT=\angle APT

，从而

AT=PT

。直角三角形

ATQ

和

PTR

在

T

处有相同的角，故相似。由于它们的斜边

AT

和

PT

相等，

AQ=PR

。因此

PR+PS=AQ+QF=AF\text{。}

所以正确答案为 D。

Since

AF\perp BD

and

PQ\perp AF,

we have

PQ\parallel BD.

Also

PS\perp BD,

so

PS\parallel AF.

Thus quadrilateral

QPSF

is a rectangle, and

PS=QF.

Let

T=PQ\cap AC.

The diagonals of a rectangle make equal angles with side

AB,

so

\angle PAT=\angle APT,

giving

AT=PT.

The right triangles

ATQ

and

PTR

are similar because they share the angle at

T.

Since their hypotenuses

AT

and

PT

are equal,

AQ=PR.

Therefore

PR+PS=AQ+QF=AF.

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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