1958 AMC 12 第 43 题

Question

\overline{AB}

是直角三角形

ABC

的斜边。中线

AD=7

，中线

BE=4

。

AB

的长度为：

\overline{AB}

is the hypotenuse of a right triangle

ABC.

Median

AD=7

and median

BE=4.

The length of

AB

is:

10

5\sqrt3

5\sqrt2

2\sqrt{13}

2\sqrt{15}

答案：D

知识点：中线（几何）斯特瓦尔特定理勾股定理

难度评级：1990

小提示：

设角

A

和

B

所对直角边的平方分别为

u

和

v

Let the legs opposite

A

and

B

have squared lengths

u

and

v

大提示：

同时使用两条中线公式和斜边的勾股关系

Use the two median formulas together with the Pythagorean relation for the hypotenuse

解答：

令

a=BC

、

b=CA

、

c=AB

。由于直角在

C

，

c^2=a^2+b^2

。中线公式给出

\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2 \end{aligned}\text{。}

解得

a^2=4

和

b^2=48

。因此

\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案为 D。

Let

a=BC,

b=CA,

and

c=AB.

Since the right angle is at

C,

c^2=a^2+b^2.

The median formulas give

\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}

Solving yields

a^2=4

and

b^2=48.

Therefore

\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 第 43 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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