1988 AIME Problema 8

Question

La función

f,

definida sobre el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:

\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}

Calcula

f(14,52).

The function

f,

defined on the set of ordered pairs of positive integers, satisfies the following properties:

\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}

Calculate

f(14,52).

Respuesta

Aplica la tercera propiedad a

(x,y-x)

cuando

y\gt x

Apply the third property to

(x,y-x)

when

y\gt x

Compara la regla de resta resultante con la misma regla para

\operatorname{lcm}(x,y)

Compare the resulting subtraction rule with the same rule for

\operatorname{lcm}(x,y)

Para

y\gt x,

la tercera propiedad aplicada a

(x,y-x)

da

f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).

El mínimo común múltiplo satisface la misma relación, porque

\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).

Por tanto, el cociente

\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}

no cambia en cada paso de resta del algoritmo de Euclides. En la diagonal es igual a

\frac{f(g,g)}{g}=1,

así que

f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).

Por tanto,

\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}

For

y\gt x,

the third property applied to

(x,y-x)

gives

f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).

The least common multiple obeys the identical relation, because

\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).

Hence the quotient

\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}

is unchanged by each subtraction step of the Euclidean algorithm. On the diagonal it equals

\frac{f(g,g)}{g}=1,

so

f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).

Therefore

\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}

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