1994 AIME Problema 8

Question

Los puntos

(0,0),

(a,11),

y

(b,37)

son los vértices de un triángulo equilátero. Halla el valor de

ab.

The points

(0,0),

(a,11),

and

(b,37)

are the vertices of an equilateral triangle. Find the value of

ab.

Respuesta

El vector

(b,37)

es una rotación de

(a,11)

por

60^\circ

o por

-60^\circ

The vector

(b,37)

is a rotation of

(a,11)

through

60^\circ

or

-60^\circ

Usa primero la segunda coordenada de la rotación y luego calcula la primera

Use the second coordinate of the rotation first, then compute the first coordinate

Para una rotación de

60^\circ,

37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},

de donde

a=21\sqrt3.

La primera coordenada es entonces

b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.

La orientación opuesta cambia ambos signos y deja invariante el producto. Por lo tanto,

ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.

For a

60^\circ

rotation,

37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},

so

a=21\sqrt3.

The first coordinate is then

b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.

The opposite orientation changes both signs and leaves the product unchanged. Hence

ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.

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