1996 AIME Problema 8

Question

La media armónica de dos números positivos es el recíproco de la media aritmética de sus recíprocos. ¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos

(x,y),

con

x<y,

la media armónica de

x

y

y

es igual a

6^{20}

?

The harmonic mean of two positive numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals. For how many ordered pairs of positive integers

(x,y),

with

x<y,

is the harmonic mean of

x

and

y

equal to

6^{20}?

Respuesta

Respuesta: 799

Conceptos:media armónica conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para

N=6^{20},

convierte

\frac{2xy}{x+y}=N

en un producto

For

N=6^{20},

rearrange

\frac{2xy}{x+y}=N

into a product

Pista grande:

Cuenta los pares de factores complementarios de

N^2

en los que ambos factores son pares

Count complementary factor pairs of

N^2

in which both factors are even

Solución:

Sea

N=6^{20}.

Al reordenar la ecuación de la media armónica se obtiene

(2x-N)(2y-N)=N^2.

Como

x<N<y

y

N<2x,

los dos factores son positivos y ambos deben ser pares. Recíprocamente, cada factorización

AB=N^2

con

A<B

y ambos factores pares da un par válido mediante

x=\frac{A+N}{2}

y

y=\frac{B+N}{2}.

Ahora

N^2=2^{40}3^{40}.

Para que ambos factores complementarios sean pares, el exponente de

2

en

A

puede ser

1,\ldots,39,

mientras que el exponente de

3

puede ser

0,\ldots,40.

Esto produce

39\cdot41=1599

divisores

A,

incluido el factor central

A=N.

Al emparejar divisores complementarios y excluir el caso central se obtiene

\frac{1599-1}{2}=799.

Let

N=6^{20}.

Rearranging the harmonic-mean equation gives

(2x-N)(2y-N)=N^2.

Because

x<N<y

and

N<2x,

the two factors are positive, and both must be even. Conversely, each factorization

AB=N^2

with even

A<B

gives one valid pair via

x=\frac{A+N}{2}

and

y=\frac{B+N}{2}.

Now

N^2=2^{40}3^{40}.

For both complementary factors to be even, the exponent of

2

in

A

can be

1,\ldots,39,

while the exponent of

3

can be

0,\ldots,40.

This gives

39\cdot41=1599

divisors

A,

including the central factor

A=N.

Pairing complementary divisors and excluding that central case gives

\frac{1599-1}{2}=799.