Question

¿Para cuántos enteros $n$ el número $\dfrac{n}{20 - n}$ es el cuadrado de un entero?

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20 - n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pon $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ y despeja $n$ en términos de $k$ .

Set $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ and solve for $n$ in terms of $k$

Pista grande:

$n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}$ ; como $k^2$ y $k^2 + 1$ son coprimos, $20$ es divisible por $k^2 + 1$ .

$n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}$ ; since $k^2$ and $k^2 + 1$ are coprime, $20$ is divisible by $k^2 + 1$

Solución:

Supongamos que $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ para algún entero $k \ge 0.$ Despejando, $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

Como $k^2$ y $k^2 + 1$ no comparten factor común, $k^2 + 1$ debe dividir a $20.$ Esto ocurre solo para $k = 0,$ $1,$ $2,$ $3,$ dando $k^2 + 1 = 1,$ $2,$ $5,$ $10.$

Los valores correspondientes $n = 0,$ $10,$ $16,$ $18$ son todos enteros, así que hay $4$ tales $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ for some integer $k \ge 0.$ Solving, $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

Since $k^2$ and $k^2 + 1$ share no common factor, $k^2 + 1$ must divide $20.$ This happens only for $k = 0,$ $1,$ $2,$ $3,$ giving $k^2 + 1 = 1,$ $2,$ $5,$ $10.$

The corresponding values $n = 0,$ $10,$ $16,$ $18$ are all integers, so there are $4$ such $n.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10B Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años