Question

En un torneo de tenis de mesa, cada participante jugó contra cada uno de los demás exactamente una vez. Aunque había el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, el número de partidos ganados por los zurdos fue un $40\%$ mayor que el número de partidos ganados por los diestros. (No hubo empates ni jugadores ambidiestros.) ¿Cuál es el número total de partidos jugados?

In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

$15$

$36$

$45$

$48$

$66$

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones razón y proporción

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Con $L$ jugadores zurdos y $2L$ diestros, el número de partidos es $\binom{3L}{2}$

With $L$ left-handed and $2L$ right-handed players, the number of games is $\binom{3L}{2}$

Pista grande:

Cada partido tiene un ganador, y la razón de victorias zurdas a diestras es $1.4 : 1 = 7 : 5,$ así que el total es múltiplo de $12$ .

Every game has one winner, and left wins to right wins is $1.4 : 1 = 7 : 5,$ so the total is a multiple of $12$

Solución:

Supongamos que hay $L$ zurdos y $2L$ diestros, así que $3L$ jugadores y $\binom{3L}{2}$ partidos. Cada partido tiene un ganador, y las victorias zurdas son $1.4$ veces las diestras, así que las victorias se reparten $7 : 5$ y el total debe ser múltiplo de $12$ . Los zurdos pueden ganar a lo sumo todos los partidos en los que participa al menos un zurdo, es decir $\binom{L}{2} + 2L^2$ . Por lo tanto $\frac{7}{12}\binom{3L}{2} \leq \binom{L}{2} + 2L^2,$ lo que da $L \leq 3$ . Para $L = 1$ y $L = 2$ , el total no es divisible entre $12$ . Para $L = 3$ , hay $\binom{9}{2} = 36$ partidos. Esto es alcanzable si los zurdos ganan los $18$ partidos entre grupos y los $3$ partidos entre ellos, mientras que los diestros ganan sus $15$ partidos internos. Los totales de victorias son $21$ y $15$ , así que la respuesta es $36$ . Por lo tanto, la respuesta es B.

Say there are $L$ left-handers and $2L$ right-handers, so $3L$ players and $\binom{3L}{2}$ games. Every game has one winner, and left wins are $1.4$ times right wins, so the wins split $7 : 5$ and the total must be a multiple of $12$ . Left-handers can win at most all games involving at least one left-hander, namely $\binom{L}{2} + 2L^2$ . Hence $\frac{7}{12}\binom{3L}{2} \leq \binom{L}{2} + 2L^2,$ which gives $L \leq 3$ . For $L = 1$ and $L = 2$ , the total is not divisible by $12$ . For $L = 3$ , there are $\binom{9}{2} = 36$ games. This is attainable if the left-handers win all $18$ cross-group games and all $3$ games among themselves, while the right-handers win their $15$ internal games. The win totals are $21$ and $15$ , so the answer is $36$ . Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10A Problema 16

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años