Question

Bela y Jenn juegan el siguiente juego en el intervalo cerrado $[0, n]$ de la recta de los números reales, donde $n$ es un entero fijo mayor que $4.$ Juegan por turnos, y Bela empieza. En su primer turno, Bela elige cualquier número real del intervalo $[0, n].$ A partir de entonces, el jugador a quien le toca elige un número real que esté a más de una unidad de distancia de todos los números elegidos anteriormente por cualquiera de los dos jugadores. Un jugador que no puede elegir tal número pierde. Usando la estrategia óptima, ¿qué jugador ganará el juego?

Bela and Jenn play the following game on the closed interval $[0, n]$ of the real number line, where $n$ is a fixed integer greater than $4.$ They take turns playing, with Bela going first. At his first turn, Bela chooses any real number in the interval $[0, n].$ Thereafter, the player whose turn it is chooses a real number that is more than one unit away from all numbers previously chosen by either player. A player unable to choose such a number loses. Using optimal strategy, which player will win the game?

Bela siempre ganará.

Bela will always win.

Jenn siempre ganará.

Jenn will always win.

Bela ganará si y solo si $n$ es impar.

Bela will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n$ es impar.

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si n>8.

Jenn will win if and only if n>8.

Respuesta: A

Conceptos:juego combinatorio simetría

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Busca una primera jugada que deje el intervalo simétrico.

Look for a first move that leaves the interval symmetric

Pista grande:

Después de que Jenn juega en $x,$ Bela puede responder en $n-x$ .

After Jenn moves to $x,$ Bela can respond at $n-x$

Solución:

Bela puede elegir primero el punto medio $\frac{n}{2}.$ Después de eso, cada vez que Jenn elige un número $x,$ Bela elige el número reflejado $n-x.$

Este número reflejado es válido siempre que la jugada de Jenn sea válida: la reflexión respecto de $\frac{n}{2},$ preserva las distancias a los números elegidos anteriormente, y Jenn no puede elegir $\frac{n}{2}$ porque fue la primera jugada de Bela. Por lo tanto, cada jugada de Jenn tiene una respuesta correspondiente de Bela, así que Jenn es el primer jugador que puede quedarse sin jugadas válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bela can first choose the midpoint $\frac{n}{2}.$ After that, whenever Jenn chooses a number $x,$ Bela chooses the reflected number $n-x.$

This reflected number is legal whenever Jenn’s move is legal: distances from previously chosen numbers are preserved by the reflection about $\frac{n}{2},$ and Jenn cannot choose $\frac{n}{2}$ because it was Bela’s first move. Therefore every Jenn move has a matching Bela response, so Jenn is the first player who can run out of legal moves.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 16

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años