Question

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

para todos los enteros pares positivos $n$ ?

What is the largest integer that is a divisor of

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Cuando $n$ es par, los cinco factores son números impares consecutivos.

When $n$ is even, the five factors are consecutive odd numbers

Pista grande:

Entre cinco números impares consecutivos uno es múltiplo de $3$ y uno de $5;$ verifica que ningún factor mayor funciona siempre.

Among five consecutive odd numbers one is a multiple of $3$ and one of $5;$ check no larger factor always works

Solución:

Cuando $n$ es par, los factores son cinco números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible por $3$ y exactamente uno por $5,$ así que el producto siempre es divisible por $15.$

Para demostrar que no se fuerza ningún divisor fijo mayor, comparamos tres casos: $\begin{aligned} n=2 &: 3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11,\\ n=10 &: 11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19,\\ n=12 &: 13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21. \end{aligned}$ El máximo común divisor de estos tres productos es exactamente $15,$ así que un divisor común a todos los casos no puede ser mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When $n$ is even, the factors are five consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

To prove that no larger fixed divisor is forced, compare three cases: $\begin{aligned} n=2 &: 3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11,\\ n=10 &: 11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19,\\ n=12 &: 13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21. \end{aligned}$ The greatest common divisor of these three products is exactly $15,$ so a divisor common to every case cannot be any larger.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años