Question

¿Cuál es el producto de todas las raíces de la siguiente ecuación? $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$

What is the product of all the roots of the equation below? $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$

$-64$

$-24$

$-9$

$24$

$576$

Respuesta: A

Conceptos:radical valor absoluto cuadrática

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado ambos lados después de verificar que los radicales estén definidos.

Square both sides after checking the radicals are defined

Pista grande:

Escribe la ecuación en términos de $|x|$ .

Write the equation in terms of $|x|$

Solución:

Como $x^2=|x|^2,$ al elevar la ecuación al cuadrado se obtiene $\begin{aligned} 5|x|+8 &= |x|^2-16,\\ |x|^2-5|x|-24&=0,\\ (|x|-8)(|x|+3)&=0. \end{aligned}$ Las posibilidades algebraicas para $|x|$ son $8$ y $-3,$ pero un valor absoluto no puede ser negativo. Por tanto, $|x|=8,$ así que las raíces son $8$ y $-8$ , cuyo producto es $-64.$

Así, la respuesta correcta es A.

Because $x^2=|x|^2,$ squaring the equation gives $\begin{aligned} 5|x|+8 &= |x|^2-16,\\ |x|^2-5|x|-24&=0,\\ (|x|-8)(|x|+3)&=0. \end{aligned}$ The algebraic possibilities for $|x|$ are $8$ and $-3,$ but an absolute value cannot be negative. Hence $|x|=8,$ so the roots are $8$ and $-8$ , with product $-64.$

Thus, the correct answer is A .

2011 AMC 10B Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años